0 概述

多无人机协同控制技术是利用多架无人机通过任务分配及调度的方式完成指定任务，近年来在军事、民用等领域具有广泛的应用。在多数情况下，使用多个无人机协同工作比使用单个无人机更为有效，比如在大范围内搜索目标以及绘制地图时，可通过无人机团队合作实现空中加油的任务^[1-3]。多无人机协同控制中最基本的问题是一致性问题，是指在一个集群中的无人机基于相邻无人机信息以及一致性控制协议同步到一个公共状态中^[4-5]，这种一致性控制协议可分为非主从式控制协议和主从式控制协议^[6-7]两类。主从式一致性控制是所有无人机都相对领导者或参考信号进行同步。由于无人机进行长时高空作业时，不仅需要应对来自外部的干扰，还需要解决由于机体内部的零件磨损和退化引起的模型或参数不确定、测量存在误差以及控制器微小故障等问题。在实际应用过程中，无人机真实模型的获取较为困难，而仅基于无人机名义模型设计的一致性控制器不能使得无人机按照期望的姿态飞行。

文献[8]针对四旋翼无人机姿态控制问题，提出一种基于干扰观测器的轨迹跟踪鲁棒控制算法。通过对未知气动干扰力矩进行观测，并在控制输入中加入干扰力矩的观测值，确保姿态子系统能够以指数收敛速率跟踪中间指令信号。文献[9]提出一种基于多输入多输出扩展状态观测器的新型水下机器人积分滑模控制器，并利用自适应增益更新算法估计不确定性的上界，实现水下机器人对期望姿态的渐近跟踪。文献[10]针对具有未知扰动的非线性多智能体系统的事件触发跟踪控制问题，通过设计扰动观测器来估计未知的外部扰动，并基于Lyapunov稳定性理论和Backstepping方法，证明一致性跟踪误差位于原点的一个小邻域内。文献[11]在模型或参数不确定、未知海洋扰动和伴随测量误差的情况下，关于有向网络上由多个动态领导者引导的网络化自主水下机器人的围堵控制问题，提出一种新的基于预测器的神经动态曲面控制设计方法。该方法可用于开发自适应包容控制器，使机器人的运动轨迹收敛于领导者附近。文献[12]在设计的控制器中直接构造神经网络，以解决干扰及模型不确定等问题造成的不利影响，并实现多无人机姿态的一致性控制。然而，上述姿态控制方法仅考虑了姿态跟踪中的单个干扰问题，并未综合考虑姿态跟踪中出现的复合干扰问题，因此姿态的同步性能还有待提高。

本文基于观测器理论^[13-14]提出一种故障检测方法，对外部干扰、模型不确定、测量误差以及控制器微小故障等问题进行实时估计，并结合无人机名义模型设计一致性控制器，解决由于上述故障与干扰引起的飞行姿态不理想问题，通过与文献[12]所提控制器进行对比，以验证该控制器的有效性。

1 无人机姿态系统的数学模型

为了方便起见，本文使用的符号表示如下含义：

1）$ \mathbb{R} $表示常数空间，$ {\mathbb{R}}^{n} $表示$ n $维向量空间，$ {\mathbb{R}}^{n\times m} $表示$ n\times m $维的矩阵空间，$ {{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{n} $表示$ n\times n $维的单位矩阵。

2）$ \mathrm{t}\mathrm{r}(\cdot ) $表示求解矩阵的迹，$ {\cdot }^{\mathrm{T}} $表示矩阵转置，$ {\cdot }^{+} $表示求解矩阵的Moore-Penrose广义逆，$ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\cdot \right) $表示构造对角矩阵，$ {\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(\cdot ) $和$ {\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\cdot ) $分别为矩阵的最小和最大特征值。

3）$ \otimes $表示求解克罗内克积。

固定翼无人机姿态在空间中的运动具有3个绕质心旋转的自由度，分别为滚转、俯仰和偏航运动。无人机的副翼和升降翼相互作用产生滚转力矩和俯仰力矩，而方向翼产生偏航力矩。如图 1所示，无人机的运动涉及惯性坐标系、机体坐标系和气流坐标系，并分别用字母n、b和w表示。

以无人机i为例，其相对于惯性坐标系的滚转、俯仰和偏航姿态角分别用欧拉角$ {\phi }_{i} $、$ {\theta }_{i} $和$ {\psi }_{i} $表示，相对于机体坐标系的姿态角速度分别用$ {p}_{i} $、$ {q}_{i} $和$ {r}_{i} $表示。其中，$ i\in \left[\mathrm{1, 2}, \cdots , N\right] $，N为实现姿态同步的无人机数量。令${\mathit{\pmb{Ω}}}\text{ }_{i}^{b}={{\left[ {{p}_{i}},{{q}_{i}},{{r}_{i}} \right]}^{\text{T}}}$，$\mathit{\pmb{\Theta}}\text{ }_{i}^{n}={{\left[ {{\varphi }_{i}},{{\theta }_{i}},{{\psi }_{i}} \right]}^{\text{T}}}$，则两者之间具有如下转换关系：

$ {{\mathit{\pmb{Ω}}}}_{i}^{b}={{\mathit{\boldsymbol{C}}}}_{in}^{b}{\dot{{\mathit{\pmb{\Theta}}}}}_{i}^{n} ，{\dot{{\mathit{\pmb{\Theta}}}}}_{i}^{n}={{\mathit{\boldsymbol{C}}}}_{ib}^{n}{{\mathit{\pmb{Ω}}}}_{i}^{b} $

(1)

其中，$ {{\mathit{\boldsymbol{C}}}}_{in}^{b} $为无人机i从惯性坐标系到机体坐标系的旋转矩阵，$ {{\mathit{\boldsymbol{C}}}}_{ib}^{n} $为无人机i从机体坐标系到惯性坐标系的旋转矩阵，其完整形式为：

$ \left\{\begin{array}{l}{{\mathit{\boldsymbol{C}}}}_{in}^{b}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }{\theta }_{i}\\ 0& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{ }{ϕ }_{i}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }{ϕ }_{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{ }{\theta }_{i}\\ 0& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }{ϕ }_{i}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{ }{ϕ }_{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{ }{\theta }_{i}\end{array}\right]\\ {{\mathit{\boldsymbol{C}}}}_{ib}^{n}=\left[\begin{array}{ccc}1& \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{ }{\theta }_{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }{ϕ }_{i}& \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{ }{\theta }_{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{ }{ϕ }_{i}\\ 0& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{ }{ϕ }_{i}& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }{ϕ }_{i}\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }{ϕ }_{i}/\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{ }{\theta }_{i}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{ }{ϕ }_{i}/\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{ }{\theta }_{i}\end{array}\right]\end{array}\right. $

(2)

根据牛顿力学^[15]可推导出无人机i姿态系统的动力学方程为：

$ \overset{.}{\mathop{\mathit{\pmb{Ω}}\text{ }}}\, _{i}^{b}={{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{I}}}}^{b}} \right)}^{-1}}\left( {\mathit{\boldsymbol{M}}}_{i}^{b}-\mathit{\pmb{Ω}}\text{ }_{i}^{b}\times \left( {{{\mathit{\boldsymbol{I}}}}^{b}}\mathit{\pmb{Ω}}\text{ }_{i}^{b} \right) \right) $

(3)

其中，$ {{\mathit{\boldsymbol{I}}}}^{b} $是通用无人机转动惯量矩阵，其完整形式如式（4）所示。

$ {{\mathit{\boldsymbol{I}}}}^{\mathit{b}}=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& 0& {I}_{xz}\\ 0& {I}_{yy}& 0\\ {I}_{zx}& 0& {I}_{zz}\end{array}\right] $

(4)

其中，$ {I}_{xx} $、I_yy、$ {I}_{zz} $、$ {I}_{zx} $和$ {I}_{xz} $均为无人机在坐标轴上的转动惯量，它们由无人机自身的形状、材质等决定。

$ {{\mathit{\boldsymbol{M}}}}_{i}^{b} $为无人机i的所受力矩，其完整形式为：

$ {{\mathit{\boldsymbol{M}}}}_{i}^{b}={\left[\stackrel{-}{q}Sb{C}_{L}^{i}, \stackrel{-}{q}S\stackrel{-}{c}{C}_{M}^{i}, \stackrel{-}{q}Sb{C}_{N}^{i}\right]}^{\mathrm{T}} $

(5)

其中，$ \stackrel{-}{q}=\rho {V}_{T}^{2}/2 $为空气动压，$ {V}_{T} $为无人机总空速，$ \rho $为空气密度，S为机翼总面积，b为翼展，$ \stackrel{-}{c} $为平均弦长。无人机i的滚转、俯仰和偏航运动分别由$ {C}_{L}^{i} $、$ {C}_{M}^{i} $和$ {C}_{N}^{i} $控制，且有：

$ \left\{\begin{array}{l}{C}_{L}^{i}={C}_{L{a}_{1}}{d}_{{a}_{1}}^{i}+{C}_{L{a}_{2}}{d}_{{a}_{2}}^{i}+{C}_{L{e}_{1}}{d}_{{e}_{1}}^{i}+{C}_{L{e}_{2}}{d}_{{e}_{2}}^{i}+\\ \quad\quad\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }{C}_{Lb}{b}_{i}+{C}_{L\tilde{p}}{\tilde{p}}_{i}+{C}_{L\tilde{r}}{\tilde{r}}_{i}\\ {C}_{M}^{i}={C}_{{M}_{1}}+{C}_{M{e}_{1}}{d}_{{e}_{1}}^{i}+{C}_{M{e}_{2}}{d}_{{e}_{2}}^{i}+{C}_{M{a}_{1}}{d}_{{a}_{1}}^{i}+\\ \quad\quad\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }{C}_{M{a}_{2}}{d}_{{a}_{2}}^{i}+{C}_{M\tilde{q}}{\tilde{q}}_{i}+{C}_{Ma}{a}_{i}\\ {C}_{N}^{i}={C}_{N{d}_{r}}{d}_{r}^{i}+{C}_{N\tilde{r}}\tilde{r}+{C}_{Nb}{b}_{i}\end{array}\right. $

(6)

其中，$ {\delta }_{{a}_{1}}^{i} $、$ {\delta }_{{a}_{2}}^{i} $分别为无人机i的左右副翼偏转，$ {\delta }_{{e}_{1}}^{i} $、$ {\delta }_{{e}_{2}}^{i} $分别为无人机i的左右升降翼偏转，$ {\delta }_{r}^{i} $为无人机i的方向翼偏转，$ {\tilde{p}}_{i}=b{p}_{i}/2{V}_{T} $，$ {\tilde{q}}_{i}=\stackrel{-}{c}{q}_{i}/2{V}_{T} $，$ {\tilde{r}}_{i}=b{r}_{i}/2{V}_{T} $，$ {\alpha }_{i} $和$ {\beta }_{i} $分别为无人机i的攻角和侧滑角，且其动力学方程如式（7）所示。

$ {\dot{\alpha }}_{i}={q}_{i}+\frac{\rho {V}_{T}S{C}_{Z\alpha }}{2m}{\alpha }_{i}，{\dot{\beta }}_{i}=-{r}_{i}+\frac{\rho {V}_{T}S{C}_{{Y}_{1}}}{2m}{\beta }_{i} $

(7)

其中，m为无人机质量。

为建立姿态系统数学模型的状态空间方程，令$ {{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}={{\mathit{\pmb{Ω}}}}_{i}^{b}={\left[{p}_{i}, {q}_{i}, {r}_{i}\right]}^{\mathrm{T}} $，$ {{\mathit{\boldsymbol{u}}}}_{i}=[{\delta }_{{a}_{1}}^{i}, {\delta }_{{a}_{2}}^{i}, {\delta }_{{e}_{1}}^{i}, {\delta }_{{e}_{2}}^{i}, {\delta }_{r}^{i}{]}^{\mathrm{T}} $，$ {{\mathit{\boldsymbol{h}}}}_{i}={{\mathit{\pmb{\Theta}}}}_{i}^{n}={\left[{\phi }_{i}, {\theta }_{i}, {\psi }_{i}\right]}^{\mathrm{T}} $，结合式（1），则式（3）可重新表示为：

$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\overset{.}{\mathop{{\mathit{\boldsymbol{h}}}}}\, }_{i}}={\mathit{\boldsymbol{C}}}_{ib}^{n}{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}} \\ {{\overset{.}{\mathop{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}\, }_{i}}={{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{i}}{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}}+{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{i}}{{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}_{i}}+{{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_{i}} \\ i=1, 2, \cdots , N \\ \end{array} \right.$

(8)

式（8）为无人机姿态系统名义模型（无模型不确定及外部干扰下无人机姿态系统的数学模型）的状态空间方程。$ {{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{i}\in {\mathbb{R}}^{3\times 3} $、$ {{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{i}\in {\mathbb{R}}^{3\times 5} $和$ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_{i}\in {\mathbb{R}}^{3} $为名义模型，它们的完整形式如下所示：

$ {{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{i}=\frac{\partial {\dot{{\mathit{\pmb{Ω}}}}}_{i}^{b}}{\partial {{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{{I}_{zz}S{b}^{2}{C}_{L\tilde{p}}}{2{D}_{1}{V}_{T}}-\frac{{N}_{1}}{{D}_{1}}{q}_{i}& \frac{-{N}_{1}{p}_{i}+{N}_{2}{r}_{i}}{{D}_{1}}& \frac{({I}_{zz}{C}_{L\tilde{r}}-{I}_{xz}{C}_{N\tilde{r}})s{b}^{2}\stackrel{-}{q}}{2{D}_{1}{V}_{T}}+\frac{{N}_{2}{q}_{i}}{{D}_{1}}\\ \frac{({I}_{xx}-{I}_{zz}){r}_{i}-2{I}_{zx}{p}_{i}}{{I}_{yy}}& \frac{S{\stackrel{-}{c}}^{2}{C}_{M\stackrel{-}{q}}\stackrel{-}{q}}{2{V}_{T}{I}_{yy}}& \frac{-({I}_{xx}-{I}_{zz}){p}_{i}-2{I}_{xz}{r}_{i}}{{I}_{yy}}\\ -\frac{S{b}^{2}{C}_{L\tilde{p}}{I}_{xz}\stackrel{-}{q}}{2{D}_{1}{V}_{T}}+\frac{{N}_{3}{q}_{i}}{{D}_{1}}& \frac{{N}_{3}{p}_{i}+{N}_{1}{r}_{i}}{{D}_{1}}& \frac{S{b}^{2}(-{I}_{xz}{C}_{L\tilde{r}}+{I}_{xx}{C}_{N\tilde{r}})\stackrel{-}{q}}{2{D}_{1}{V}_{T}}+\frac{{N}_{1}{q}_{i}}{{D}_{1}}\end{array}\right] $

(9)

$ {{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{i}=\frac{\partial {\dot{{\mathit{\pmb{Ω}}}}}_{i}^{b}}{\partial {{\mathit{\boldsymbol{u}}}}_{i}}=\stackrel{-}{q}\left[\begin{array}{ccccc}\frac{Sb{I}_{zz}{C}_{L{a}_{1}}}{{D}_{1}}& \frac{Sb{I}_{zz}{C}_{L{a}_{2}}}{{D}_{1}}& \frac{Sb{I}_{zz}{C}_{L{e}_{1}}}{{D}_{1}}& \frac{Sb{I}_{zz}{C}_{L{e}_{2}}}{{D}_{1}}& \frac{-Sb{I}_{xz}{C}_{N\delta r}}{{D}_{1}}\\ \frac{S\stackrel{-}{c}{C}_{M{a}_{1}}}{{D}_{1}}& \frac{S\stackrel{-}{c}{C}_{M{a}_{2}}}{{D}_{1}}& \frac{S\stackrel{-}{c}{C}_{M{e}_{1}}}{{D}_{1}}& \frac{S\stackrel{-}{c}{C}_{M{e}_{2}}}{{I}_{yy}}& 0\\ \frac{-Sb{I}_{xz}{C}_{L{a}_{1}}}{{D}_{1}}& \frac{-Sb{I}_{xz}{C}_{L{a}_{2}}}{{D}_{1}}& \frac{-Sb{I}_{xz}{C}_{L{e}_{1}}}{{D}_{1}}& \frac{-Sb{I}_{xz}{C}_{L{e}_{2}}}{{D}_{1}}& \frac{-Sb{I}_{xx}{C}_{N\delta r}}{{D}_{1}}\end{array}\right] $

(10)

$ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_{i}={\left[\frac{Sb\beta \stackrel{-}{q}({I}_{zz}{C}_{L\beta }\beta -{I}_{xz}{C}_{N\beta })}{{I}_{xx}{I}_{zz}-{I}_{xz}^{2}}, \frac{S\stackrel{-}{c}\alpha \stackrel{-}{q}{C}_{M\alpha }}{{I}_{yy}}, \frac{Sb\beta \stackrel{-}{q}({I}_{xx}{C}_{N\beta }\beta -{I}_{xz}{C}_{L\beta })}{{I}_{xx}{I}_{zz}-{I}_{xz}^{2}}\right]}^{\mathrm{T}} $

(11)

其中，$ {N}_{1}={I}_{xz}({I}_{xx}-{I}_{yy}+{I}_{zz}) $，$ {N}_{2}={I}_{yy}{I}_{zz}-{I}_{xz}^{2}-{I}_{zz}^{2} $，$ {D}_{1}={I}_{xx}{I}_{zz}-{I}_{xz}^{2} $，$ {N}_{3}={I}_{xz}^{2}-{I}_{xx}{I}_{yy}+{I}_{xx}^{2} $。

2 基于观测器的故障检测方法

结合式（8），在干扰、模型不确定、状态测量误差以及控制器微小故障下，一类非线性多无人机姿态运动数学模型可以建模为以下微分方程：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\boldsymbol{h}}_{i}=\boldsymbol{C}_{i b}^{n} \boldsymbol{x}_{i} \\ \dot{\boldsymbol{x}}_{i}=\overline{\boldsymbol{A}}_{i} \overline{\boldsymbol{x}}_{i}+\overline{\boldsymbol{B}}_{i} \overline{\boldsymbol{u}}_{i}+\overline{\boldsymbol{Q}}_{i}+\boldsymbol{f}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \\ i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array}\right. $

(12)

其中，$ {\stackrel{-}{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_{i}={{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{i}+\mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{i} $、$ {\stackrel{-}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}}_{i}={{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{i}+\mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{i} $和$ {\stackrel{-}{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}}_{i}={{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_{i}+\mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_{i} $为姿态系统实际模型，$ \mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{i} $、$ \mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{i} $和$ \mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_{i} $为模型不确定项，即无人机实际模型与名义模型之间的偏移，$ {\stackrel{-}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{i}={{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}+\mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i} $，$ \mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i} $为状态测量误差，$ {\stackrel{-}{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}}_{i}={{\mathit{\boldsymbol{u}}}}_{i}+\mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}_{i} $，$ \mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}_{i} $为控制器微小故障，$ {{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}\right) $为外部干扰。

理论上式（12）可以等价为：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\boldsymbol{h}}_{i}=\boldsymbol{C}_{i b}^{n} \boldsymbol{x}_{i} \\ \dot{\boldsymbol{x}}_{i}=\boldsymbol{A}_{i} \boldsymbol{x}_{i}+\boldsymbol{B}_{i} \boldsymbol{u}_{i}+\boldsymbol{Q}_{i}+\boldsymbol{F}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \\ i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array}\right. $

(13)

其中，$ {{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}\left(t\right) $为包含干扰、模型不确定、状态测量误差以及控制器微小故障的集成不确定项，其具体形式为：

$ \begin{aligned} \boldsymbol{F}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)=& \boldsymbol{f}_{i}+\Delta \boldsymbol{A}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\left(\boldsymbol{x}_{i}+\Delta \boldsymbol{x}_{i}\right)+\boldsymbol{A}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \Delta \boldsymbol{x}_{i}+\\ & \Delta \boldsymbol{B}_{i}(t)\left(\boldsymbol{u}_{i}+\Delta \boldsymbol{u}_{i}\right)+\boldsymbol{B}_{i} \Delta \boldsymbol{u}_{i}+\delta \boldsymbol{Q}_{i}, i \in[1, 2, \cdots, N] \end{aligned}$

(14)

为方便使用观测器观测集成不确定项，可截取式（13）中包含集成不确定项的部分，并在此基础上设计如下包含输出方程的多无人机姿态运动方程：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\boldsymbol{x}}_{i}=\boldsymbol{A}_{i} \boldsymbol{x}_{i}+\boldsymbol{B}_{i} \boldsymbol{u}_{i}+\boldsymbol{Q}_{i}+\boldsymbol{F}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \\ \boldsymbol{y}_{i}=\boldsymbol{C}_{i} \boldsymbol{x}_{i} \\ i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array}\right.$

(15)

其中，$ {{\mathit{\boldsymbol{y}}}}_{i}\left(t\right) $为输出向量，$ {{\mathit{\boldsymbol{C}}}}_{i}={{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{m} $为输出矩阵，$ {{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{m} $为维数为m的单位矩阵，m为状态向量的维数。

式（15）对应的模型不确定及干扰观测器可被定义为：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\hat{\boldsymbol{x}}}_{i}=\boldsymbol{A}_{i} \hat{\boldsymbol{x}}_{i}+\boldsymbol{B}_{i} \boldsymbol{u}_{i}+\boldsymbol{Q}_{i}+\hat{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\hat{\boldsymbol{x}}_{i}\right)+\boldsymbol{K}_{i}\left(\hat{\boldsymbol{y}}_{i}-\boldsymbol{y}_{i}\right) \\ \hat{\boldsymbol{y}}_{i}=\boldsymbol{C}_{i} \hat{\boldsymbol{x}}_{i} \\ i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array}\right. $

(16)

其中，$ {\widehat{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{i} $为观测器状态向量，$ {\widehat{{\mathit{\boldsymbol{y}}}}}_{i} $为观测器输出向量，$ {\widehat{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{i}\left({\widehat{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{i}\right) $为不确定向量$ {{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}\right) $的估计值，$ {{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i} $为观测器的增益矩阵。

用式（16）减去式（15）可得误差动力系统为：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\hat{\boldsymbol{e}}}_{i}=\left(\boldsymbol{A}_{i}+\boldsymbol{K}_{i} \boldsymbol{C}\right) \hat{\boldsymbol{e}}_{i}+\tilde{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\tilde{\boldsymbol{x}}_{i}\right) \\ \hat{\boldsymbol{\varepsilon}}_{i}=\boldsymbol{C}_{i} \hat{\boldsymbol{e}}_{i} \\ i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array}\right.$

(17)

其中，$\hat{\boldsymbol{e}}_{i}=\hat{\boldsymbol{x}}_{i}-\boldsymbol{x}_{i}, \tilde{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\tilde{\boldsymbol{x}}_{i}\right)=\hat{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\hat{\boldsymbol{x}}_{i}\right)-\boldsymbol{F}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right), \hat{\boldsymbol{\varepsilon}}_{i}=\hat{\boldsymbol{y}}_{i}-\boldsymbol{y}_{i}$。

为了保证误差动力系统能够趋于渐进稳定，即$ \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}\left(t\right)=0 $，式（17）中的参数须满足如下关系：

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{P}_{i}\left(\boldsymbol{A}_{i}+\boldsymbol{K}_{i} \boldsymbol{C}_{i}\right)+\left(\boldsymbol{A}_{i}+\boldsymbol{K}_{i} \boldsymbol{C}_{i}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{i}=-\boldsymbol{G}_{i} \\ i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array}\right. $

(18)

其中，$ {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i} $和$ {{\mathit{\boldsymbol{G}}}}_{i} $为正定对称矩阵。根据式（18），观测器增益矩阵$ {{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i} $可表示为：

$ \boldsymbol{K}_{i}=-\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{P}_{i}^{-1} \boldsymbol{G}_{i}+\boldsymbol{A}_{i}\right) \boldsymbol{C}_{i}^{-1}, i \in[1, 2, \cdots, N] $

(19)

根据文献[14, 16]，可以结合径向基神经网络（RBFNN）估计未知函数$ {{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}\right) $，此时$ {{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}\right) $和$ {\widehat{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{i}\left({\widehat{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{i}\right) $可分别表示为：

$ \left\{\begin{array}{l}{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}\right)={{\mathit{\boldsymbol{w}}}}_{i}^{\mathrm{*}\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}\right)+{\mathit{\pmb{ε}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}\right)\\ {\widehat{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{i}\left({\widehat{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{i}\right)={\widehat{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}\right)\\ {{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}={\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}\\ i\in \left[\mathrm{1, 2}, \cdots , N\right]\end{array}\right. $

(20)

其中，$ {{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i} $为神经网络的输入向量，$ {\widehat{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}}_{i}\in {\mathbb{R}}^{M\times 3} $为神经网络权值矩阵，$ {{\mathit{\boldsymbol{w}}}}_{i}^{\mathrm{*}}\in {\mathbb{R}}^{M\times 3} $为最优权值矩阵，$ {\mathit{\pmb{ε}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}\right) $为估计误差且$ ‖{\mathit{\pmb{ε}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}\right)‖<{\sigma }_{i} $，$ {\sigma }_{i} $是一个微小的正常数，$ \boldsymbol{\eta}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right)=\left[\eta_{i_{1}}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right), \eta_{i_{2}}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right), \cdots, \eta_{i_{M}}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right)\right]^{\mathrm{T}} \in {\mathbb{R}}^{M} $为神经网络解释器向量，M为神经元数量，且有：

$ \left\{\begin{array}{l}{\eta }_{{i}_{k}}\left({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}\right)=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}, (-{‖{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}-{{\mathit{\boldsymbol{\xi}}}}_{{i}_{k}}‖}^{2}/{\zeta }_{{i}_{k}}^{2})\\ k\in \left[\mathrm{1, 2}, \cdots , M\right], i\in \left[\mathrm{1, 2}, \cdots , N\right]\end{array}\right. $

(21)

其中，$ {{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}}_{{i}_{k}} $和$ {\zeta }_{{i}_{k}} $分别为解释器向量中参数$ {\eta }_{{i}_{k}}\left({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}\right) $的中心值和宽度。

此时，估计误差$ {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{i}\left({\tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{i}\right) $可表示为：

$ \left\{\begin{array}{l} \tilde{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\tilde{\boldsymbol{x}}_{i}\right)=\hat{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\hat{\boldsymbol{x}}_{i}\right)-\boldsymbol{F}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)= \\ \left(\hat{\boldsymbol{w}}_{i}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{w}_{i}^{\cdot \mathrm{T}}\right) \boldsymbol{\eta}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right)- \mathit{\pmb{ε}}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right)=\tilde{\boldsymbol{w}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right)- \mathit{\pmb{ε}}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right) \\ i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array}\right. $

(22)

本文定义一个Lyapunov函数为：

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{V}_{i}=\frac{1}{2} \hat{\boldsymbol{e}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{i} \hat{\boldsymbol{e}}_{i}+\frac{1}{2 \gamma_{i}} \operatorname{tr}\left(\tilde{\boldsymbol{w}}_{i}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{w}}_{i}\right) \\ i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array}\right. $

(23)

结合式（17）并对式（23）进行求导可得：

$ \begin{array}{l}{\dot{{\mathit{\boldsymbol{V}}}}}_{i}=\frac{1}{2}({\dot{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}+{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}^{T}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}{\dot{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}}_{i})+\frac{1}{{\gamma }_{i}}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({\dot{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}}_{i}\right)=\\ \frac{1}{2}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}\left({{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}\right({{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{i}+{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i}{{\mathit{\boldsymbol{C}}}}_{i})+({{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{i}+{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i}{{\mathit{\boldsymbol{C}}}}_{i}{)}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}){\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}+\\ {{\mathit{\boldsymbol{\eta}}}}_{i}({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}{)}^{\mathrm{T}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}}_{i}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}-{\mathit{\pmb{ε}}}_{i}({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}{)}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}+\frac{1}{{\gamma }_{i}}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({\dot{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}}_{i}\right)=\\ -\frac{1}{2}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{G}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}+{{\mathit{\boldsymbol{\eta}}}}_{i}({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}{)}^{\mathrm{T}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}}_{i}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}-{\mathit{\pmb{ε}}}_{i}({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}{)}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}+\\ \frac{1}{{\gamma }_{i}}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({\dot{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}}_{i}\right)\end{array} $

(24)

值得注意的是，式（24）中有：

$\boldsymbol{\eta}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right)^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{w}}_{i} \boldsymbol{P}_{i} \hat{\boldsymbol{e}}_{i}=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{P}_{i} \hat{\boldsymbol{e}}_{i} \boldsymbol{\eta}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right)^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{w}}_{i}\right) $

(25)

选择权值更新律为：

$ \dot{\hat{\boldsymbol{w}}}_{i}=\dot{\tilde{\boldsymbol{w}}}_{i}=-\gamma_{i} \boldsymbol{\eta}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right) \hat{\boldsymbol{e}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{i}-c_{i} \gamma_{i} \frac{\hat{\boldsymbol{e}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{i} \hat{\boldsymbol{w}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right)}{m_{i}} \hat{\boldsymbol{w}}_{i}$

(26)

其中：

$ c_{i}=\left\{\begin{array}{l} 1, \hat{\boldsymbol{e}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{i} \hat{\boldsymbol{w}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right)>0 \\ 0, \hat{\boldsymbol{e}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{i} \hat{\boldsymbol{w}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right) \leqslant 0 \end{array}, m_{i} \geqslant \operatorname{tr}\left(\hat{\boldsymbol{w}}_{i}(0)^{\mathrm{T}} \hat{\boldsymbol{w}}_{i}(0)\right)\right. $

(27)

将式（26）代入式（24），并结合式（25）可得：

$ \begin{array}{l}{\dot{{\mathit{\boldsymbol{V}}}}}_{i}\mathrm{ }=\mathrm{ }\mathrm{ }-\frac{1}{2}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{G}}}}_{i}\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}{\mathrm{ }}_{i}\mathrm{ }+\mathrm{ }\frac{1}{{\gamma }_{i}}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({\gamma }_{i}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}{{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}}_{i}({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}{)}^{\mathrm{T}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}\mathrm{ }+\mathrm{ }\mathrm{ }{\dot{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}\right)\mathrm{ }\mathrm{ }-{\mathit{\pmb{ε}}}_{i}({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}{)}^{\mathrm{T}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}\mathrm{ }=\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }-\frac{1}{2}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{G}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}\mathrm{ }+\frac{1}{{\gamma }_{i}}\mathrm{t}\mathrm{r}\left(\left({\gamma }_{i}{{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}}_{i}\right({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}){\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}\mathrm{ }+\mathrm{ }{\dot{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}}_{i}{)}^{\mathrm{T}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}\right)\mathrm{ }\mathrm{ }-{\mathit{\pmb{ε}}}_{i}({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}{)}^{\mathrm{T}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}\mathrm{ }=\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }-\frac{1}{2}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{G}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}\mathrm{ }-\mathrm{ }\mathrm{ }{\mathit{\pmb{ε}}}_{i}({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}{)}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}\mathrm{ }-\mathrm{ }\\ {c}_{i}\mathrm{t}\mathrm{r}\left(\frac{{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_{i}\right)}{{m}_{i}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}\right)\end{array} $

(28)

其中：

$ {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}=\left({\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}+{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}-{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}_{i}^{\mathrm{*}\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}_{i}^{\mathrm{*}}\right)/2 $

(29)

由式（29）可得：

$ \begin{array}{l}-\mathrm{t}\mathrm{r}\left({\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}\right)=-\mathrm{t}\mathrm{r}\left({\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}+{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}_{i}-{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}_{i}^{\mathrm{*}\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}_{i}^{\mathrm{*}}\right)/2\le \\ \mathrm{t}\mathrm{r}\left({{\mathit{\boldsymbol{w }}}}_{i}^{\mathrm{*}\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{w }}}}_{i}^{\mathrm{*}}\right)/2\end{array} $

(30)

结合式（29）、式（30），则式（28）可重新表示为：

$ \begin{array}{l}{\dot{{\mathit{\boldsymbol{V}}}}}_{i}\le -\frac{1}{2}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e }}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{G}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e }}}}}_{i}-{\mathit{\pmb{ε}}}_{i}({\mathit{z}}_{i}{)}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P }}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e }}}}}_{i}+\frac{1}{2}{c}_{i}\frac{{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e }}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P }}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\mathit{\eta }}_{i}\left({\mathit{z}}_{i}\right)}{{m}_{i}}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({{\mathit{\boldsymbol{w}}}}_{i}^{\mathrm{*}\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}_{i}^{\mathrm{*}}\right)\le -\frac{1}{2}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e }}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{G}}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e }}}}}_{i}-{\mathit{\pmb{ε}}}_{i}({\mathit{z}}_{i}{)}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P }}}}_{i}{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e }}}}}_{i}\le -\frac{1}{2}{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left({{\mathit{\boldsymbol{G}}}}_{i}\right){‖{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e }}}}}_{i}‖}^{2}+\\ {\sigma }_{i}{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left({{\mathit{\boldsymbol{P }}}}_{i}\right)‖{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e }}}}}_{i}‖=-\frac{1}{2}‖{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e }}}}}_{i}‖\left({\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left({{\mathit{\boldsymbol{G}}}}_{i}\right)‖{\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e }}}}}_{i}‖-2{\sigma }_{i}{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left({{\mathit{\boldsymbol{P }}}}_{i}\right)\right)\end{array} $

(31)

因此，可得出以下结论：Lyapunov函数$ {{\mathit{\boldsymbol{V}}}}_{i} $将收敛到半径$ {{\mathit{\boldsymbol{r}}}}_{i}={\kappa }_{i}‖{\sigma }_{i}‖ $附近，$ {\kappa }_{i}=2{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left({{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i}\right)/{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left({{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_{i}\right) $，其中$ {\sigma }_{i} $为足够小的正常数，$ {\kappa }_{i} $的值可以通过调整参数$ {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}_{i} $和$ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_{i} $而设计到足够小，理论上构造函数$ {{\mathit{\boldsymbol{V}}}}_{i} $的观测误差$ {\widehat{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{i} $和神经网络权值估计误差$ {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{w}}}}}_{i} $将收敛到足够小。

3 主从式多无人机姿态一致性控制

因为式（13）与式（15）等价，所以适用于式（15）的控制器同样适用于式（13），本文将在式（15）的基础上设计出多无人机姿态一致性控制器，且在设计主从式多无人机姿态一致性控制器过程中，须给出参考信号或领导者状态方程：

$ \left\{\begin{array}{l}{{\mathit{\boldsymbol{h}}}}_{l}\left(t\mathrm{ }\right)={{\mathit{\boldsymbol{G}}}}_{l}\left(t\mathrm{ }\right), {\dot{{\mathit{\boldsymbol{h}}}}}_{l}\left(t\mathrm{ }\right)={\dot{{\mathit{\boldsymbol{G}}}}}_{l}\left(t\mathrm{ }\right)={{\mathit{\boldsymbol{g}}}}_{l}\left(t\mathrm{ }\right)\\ {{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{l}\left(t\mathrm{ }\right)={\mathit{F}}_{l}\left(t\mathrm{ }\right)={{\mathit{\boldsymbol{C}}}}_{bn}\left({{\mathit{\boldsymbol{h}}}}_{l}\left(t\mathrm{ }\right)\right){{\mathit{\boldsymbol{g}}}}_{l}\left(t\mathrm{ }\right)\\ {\dot{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{l}\left(t\mathrm{ }\right)={\dot{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{l}\left(t\mathrm{ }\right)={{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{l}\left(t\mathrm{ }\right)\end{array}\right. $

(32)

其中，$ {{\mathit{\boldsymbol{h}}}}_{l}\left(t\right), {{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{l}\in {\mathbb{R}}^{3} $为领导者状态，$ {{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{l}\left(t\right)\in {\mathbb{R}}^{3} $为有界光滑向量函数且$ ‖{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{l}\left(t\right)‖<ε $。本文控制任务是在模型不确定、外部干扰以及智能体与领导者之间通信受限（只有部分无人机能与领导者通信）下，设计一致性控制方案，使得每个无人机$ {{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i} $都能精确跟踪领导者状态$ {h}_{l}\left(t\right) $和$ {{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{l} $，即$ \mathrm{l}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{t\to \mathrm{\infty }}\left(‖{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}\left(t\right)-{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{l}\left(t\right)‖+‖{{\mathit{\boldsymbol{h}}}}_{i}\left(t\right)-{{\mathit{\boldsymbol{h}}}}_{l}\left(t\right)‖\right)=0 $。

为实现无人机姿态的一致性，本文引用了图论^[17-18]，一个无向图可定义为：

$ {\mathit{\pmb{\Gamma}}}=\left\{{\mathit{\boldsymbol{v}}}, \mathit{\pmb{ε}}\right\} $

(33)

其中，$ {\mathit{\boldsymbol{v}}}=\left[{v}_{1}, {v}_{2}, \cdots , {v}_{N}\right] $为图节点集，$ \mathit{\pmb{ε}}\subseteq {\mathit{\boldsymbol{v}}}\times {\mathit{\boldsymbol{v}}} $为图边集。

根据文献[17-18]可知，如果在2个节点之间存在一条边，则表示这2个节点互为邻接节点。如果图$\mathit{\pmb{\Gamma}}$中任意2个节点之间存在路径，则称该图为连通图。结合式（33），将N个需实现姿态同步的无人机视作v中的节点，则该无人机之间的关系可以用图$ {\mathit{\pmb{\Gamma}}} $表示。图$ {\mathit{\pmb{\Gamma}}} $的邻接权重矩阵可以表示为：

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}}=\left[{a}_{ik}\right]\in {\mathbb{R}}^{N\times N} $

(34)

其中，$ {a}_{ii}=0 $且$ {a}_{ik}={a}_{ki} $，如果无人机i和无人机k之间存在通信，则$ {a}_{ik}>0 $，且矩阵A的Laplace矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{L}}}$为：

$ {\mathit{\boldsymbol{L}}}={\mathit{\boldsymbol{D}}}- {\mathit{\boldsymbol{A}}}$

(35)

其中，$ {\mathit{\boldsymbol{D}}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({d}_{1}, {d}_{2}, \cdots , {d}_{N}\right)\in {\mathbb{R}}^{N\times N} $，$ {d}_{i}=\sum\limits _{k=1}^{N}{a}_{ik} $。

结合式（12）和式（32），则无人机i和领导者之间的跟踪误差可定义为：

$\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\xi}_{i}=\boldsymbol{h}_{i}-\boldsymbol{h}_{l} \\ \boldsymbol{\mu}_{i}=\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{x}_{l}, i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array}\right. $

(36)

结合式（15）、式（32）和式（36），则有：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\boldsymbol{\mu}}_{i}=\boldsymbol{A}_{i} \boldsymbol{x}_{i}+\boldsymbol{B}_{i} \boldsymbol{u}_{i}+\boldsymbol{Q}_{i}+\boldsymbol{F}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)-\boldsymbol{f}_{l}(t) \\ i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array}\right.$

(37)

根据文献[19]可知，无人机i的主从式一致性误差可定义为：

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{e}_{i}(t)=\sum\limits_{k=1}^{N}\left(\begin{array}{l} a_{i k}\left(\left(\boldsymbol{h}_{i}-\boldsymbol{h}_{k}\right)+\left(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{x}_{k}\right)\right)+ \\ b_{i k}\left(\left(\boldsymbol{h}_{i}-\boldsymbol{h}_{l}\right)+\left(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{x}_{l}\right)\right) \end{array}\right) \\ i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array}\right.$

(38)

其中，$ {a}_{ik}\in {\mathit{\boldsymbol{A}}} $，$ {b}_{ik}\in {\mathit{\boldsymbol{B}}} $，且有下式成立：

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\left[{b}_{1}, {b}_{2}, \cdots , {b}_{N}\right]\right)\in {\mathbb{R}}^{N\times N} $

(39)

式（39）为无人机与领导者之间的通信权重矩阵，当且仅当$ {b}_{i}>0 $时，无人机i和领导者之间存在信息交换。结合式（36），则式（38）可重新表示为：

$ \begin{array}{l} \boldsymbol{e}_{i}(t)=\sum\limits_{k=1}^{N}\left(a_{i k}\left(\boldsymbol{\mu}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{k}\right)+b_{i k} \boldsymbol{\mu}_{i}\right)+ \\ \sum\limits_{k=1}^{N}\left(a_{i k}\left(\boldsymbol{\xi}_{i}-\boldsymbol{\xi}_{k}\right)+b_{i k} \boldsymbol{\xi}_{i}\right), i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array} $

(40)

令式（41）成立：

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\xi}=\left[\boldsymbol{\xi}_{1}^{\mathrm{T}}(t), \boldsymbol{\xi}_{2}^{\mathrm{T}}(t), \cdots, \boldsymbol{\xi}_{N}^{\mathrm{T}}(t)\right]^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\mu}=\left[\boldsymbol{\mu}_{1}^{\mathrm{T}}(t), \boldsymbol{\mu}_{2}^{\mathrm{T}}(t), \cdots, \boldsymbol{\mu}_{N}^{\mathrm{T}}(t)\right]^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{e}=\left[\boldsymbol{e}_{1}^{\mathrm{T}}(t), \boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}}(t), \cdots, \boldsymbol{e}_{N}^{\mathrm{T}}(t)\right]^{\mathrm{T}} \\ \tilde{\boldsymbol{L}}=\boldsymbol{L}+\boldsymbol{B} \end{array}\right. $

(41)

结合式（40），则有：

$ \boldsymbol{e}=\left(\tilde{\boldsymbol{L}} \otimes \boldsymbol{I}_{m}\right) \boldsymbol{\xi}+\left(\tilde{\boldsymbol{L}} \otimes \boldsymbol{I}_{m}\right) \boldsymbol{\mu}=\left(\tilde{\boldsymbol{L}} \otimes \boldsymbol{I}_{m}\right)(\xi+\boldsymbol{\mu})$

(42)

对于Laplace矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{L}}} $而言，其特征值为非负，因此矩阵$ \tilde{\boldsymbol{L}}=\boldsymbol{L}+\boldsymbol{B} $特征值也为非负。因此，定义一个Lyapunov正定函数为：

$ {\mathit{\boldsymbol{V}}}(t)=\frac{1}{2}( {\mathit{\boldsymbol{\xi}}}+ {\mathit{\boldsymbol{\mu}}})^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{L}} \otimes \boldsymbol{I}_{3}\right)(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\mu}) $

(43)

其中，正定矩阵$ \tilde{{\mathit{\boldsymbol{L}}}}\otimes {{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{3}\in {\mathbb{R}}^{3N\times 3N} $可以被分解为如式（44）所示。

$ \tilde{{\mathit{\boldsymbol{L}}}}\otimes {{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{3}={\mathit{\boldsymbol{M}}}{\mathit{\pmb{\Lambda}}}{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}^{\mathrm{T}} $

(44)

其中，$ {\mathit{\boldsymbol{M}}}\in {\mathbb{R}}^{3N\times 3N} $和$ {\mathit{\pmb{\Lambda}}}\in {\mathbb{R}}^{3N\times 3N} $分别为$ \tilde{{\mathit{\boldsymbol{L}}}}\otimes {{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{3} $的特征向量矩阵和特征值矩阵，且$ {{\mathit{\boldsymbol{M}}}}^{\mathrm{T}}={{\mathit{\boldsymbol{M}}}}^{-1} $。

结合式（44），Lyapunov函数$ {\mathit{\boldsymbol{V}}}\left(t\right) $可被重写为：

$ \begin{array}{l}{\mathit{\boldsymbol{V}}}\left(t\right)=\frac{1}{2}{\left({\mathit{\boldsymbol{\xi}}}+{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}\right)}^{\mathrm{T}}(\tilde{{\mathit{\boldsymbol{L}}}}\otimes {{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{3})\left({\mathit{\boldsymbol{\xi}}}+{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}\right)=\frac{1}{2}{\left({\mathit{\boldsymbol{\xi}}}+{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathit{\boldsymbol{M}}}{\mathit{\pmb{\Lambda}}}{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{\boldsymbol{\xi}}}+{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}\right)=\frac{1}{2}{\left({\mathit{\boldsymbol{\xi}}}+{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathit{\boldsymbol{M}}}{\mathit{\pmb{\Lambda}}}{{\mathit{\pmb{\Lambda}}}}^{-1}{\mathit{\pmb{\Lambda}}}{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{\boldsymbol{\xi}}}+{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}\right)=\\ \frac{1}{2}{\left({\mathit{\boldsymbol{\xi}}}+{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathit{\boldsymbol{M}}}{\mathit{\pmb{\Lambda}}}{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\boldsymbol{M}}}{{\mathit{\pmb{\Lambda}}}}^{-1}{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\boldsymbol{M}}}{\mathit{\pmb{\Lambda}}}{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{\boldsymbol{\xi}}}+{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}\right)=\frac{1}{2}{\left({\mathit{\boldsymbol{\xi}}}+{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}\right)}^{\mathrm{T}}(\tilde{{\mathit{\boldsymbol{L}}}}\otimes {{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{3}){\mathit{\pmb{\Delta}}}(\tilde{{\mathit{\boldsymbol{L}}}}\otimes {{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{3})\left({\mathit{\boldsymbol{\xi}}}+{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}\right)=\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\pmb{\Delta}}}{\mathit{\boldsymbol{e}}}\end{array} $

(45)

其中，$ {\mathit{\boldsymbol{\Delta }}}={\mathit{\boldsymbol{M}}}{{\mathit{\pmb{\Lambda}}}}^{-1}{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^{3N\times 3N} $。

针对式（45），有：

$ \frac{\lambda_{\min }({\mathit{\pmb{\Delta}}})}{2}\|\boldsymbol{e}\|^{2} \leqslant \boldsymbol{V}(t) \leqslant \frac{\lambda_{\max }({\mathit{\pmb{\Delta}}})}{2}\|\boldsymbol{e}\|^{2}$

(46)

其中，对于正定对称矩阵$ {\mathit{\pmb{\Delta}}} $而言，其特征值非负，且有$ 0\le {\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left({\mathit{\pmb{\Delta}}}\right)<{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left({\mathit{\pmb{\Delta}}}\right) $，因此$ {\mathit{\boldsymbol{V}}}\left(t\right)\ge 0 $。

对式（43）求导，并将式（37）代入可得：

$ \begin{array}{l} \dot{\boldsymbol{V}}(t)=\boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}}\left(\tilde{\boldsymbol{L}} \otimes \boldsymbol{I}_{3}\right) \dot{\boldsymbol{\mu}}=\sum\limits_{i=1}^{N} \boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{\mu}}_{i}= \\ \sum\limits_{i=1}^{N}\left(\begin{array}{l} \boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}_{i} \boldsymbol{x}_{i}+\boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}_{i} \boldsymbol{u}_{i}+\boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{F}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)+ \\ \boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}_{i}+\boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}}\left(-\boldsymbol{f}_{l}(t)+\dot{{\mathit{\boldsymbol{\xi}}}}(t)\right) \end{array}\right) \end{array}$

(47)

其中，根据Cauchy及Young’s不等式，有：

$ \left\{\begin{array}{l}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{i}^{\mathrm{T}}\left(-{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{l}\left(t\right)+\dot{{\mathit{\boldsymbol{\xi}}}}\left(t\mathrm{ }\right)\right)\le ‖-{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{l}\left(t\right)+\dot{{\mathit{\boldsymbol{\xi}}}}\left(t\mathrm{ }\right)‖‖{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{i}‖\le \\ ε ‖{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{i}‖\le {ε }^{2}/{k}_{i}+{‖{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{i}‖}^{2}/{\rho }_{i}\\ 1/{k}_{i}+1/{\rho }_{i}=1\\ i=\mathrm{1, 2}, \cdots , N\end{array}\right. $

(48)

将式（48）代入式（47）可得：

$ \dot{{\mathit{\boldsymbol{V}}}}\left(t\right)\le \sum\limits _{i=1}^{N}\left(\begin{array}{l}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{i}{\mathit{x}}_{i}+{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{i}{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}_{i}\\ +{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}\right)+{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_{i}+{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{i}^{\mathrm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{i}/{\rho }_{i}\end{array}\right)+\sum\limits _{i=1}^{N}{ε }^{2}/{\kappa }_{i} $

(49)

结合式（16）~式（31）中基于观测器与神经网络设计的集成不确定项估计器$ {\widehat{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{i}\left({{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}\right) $，伴随集成不确定项时的多无人机姿态一致性同步控制器可设计为：

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{u}_{i}=\boldsymbol{B}_{i}^{+}\left(\begin{array}{c} -\lambda_{i}\left(\frac{\lambda_{\max }({\mathit{\pmb{\Delta}}})}{2}+\frac{1}{\lambda_{i} \rho_{i}}\right) \boldsymbol{e}_{i} \\ -\left(\boldsymbol{A}_{i} \boldsymbol{x}_{i}+\boldsymbol{Q}_{i}+\hat{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right) \end{array}\right) \\ i \in[1, 2, \cdots, N] \end{array}\right. $

(50)

将式（50）代入式（49）可得：

$ \dot{\boldsymbol{V}}(t) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{N}\left(-\frac{\lambda_{\max }(\mathit{\pmb{\Delta}})}{2} \lambda_{i} \boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{i}-\boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right)+\sum\limits_{i=1}^{N} \varepsilon^{2} / k_{i} $

(51)

其中，与式（48）类似，则有：

$ \left\{\begin{array}{l} -\boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \leqslant\left\|\boldsymbol{e}_{i}\right\|\left\|\tilde{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right\| \leqslant\left\|\boldsymbol{e}_{i}\right\|^{2} / \vartheta_{i}+\left\|\tilde{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right\|^{2} / \varsigma_{i} \\ 1 / \vartheta_{i}+1 / \varsigma_{i}=1 \end{array}\right.$

(52)

将式（52）代入式（51）可得：

$ \begin{array}{l} \dot{{\mathit{\boldsymbol{V}}}}(t) \leqslant-\frac{\lambda_{\max }({\mathit{\pmb{\Delta}}})}{2} \sum\limits_{i=1}^{N}\left(\lambda_{i}-\frac{2}{\lambda_{\max }({\mathit{\pmb{\Delta}}}) \vartheta_{i}}\right) \boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{i}+ \\ \sum\limits_{i=1}^{N}\left(\varepsilon^{2} / k_{i}+\left\|\tilde{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right\|^{2} / \varsigma_{i}\right) \end{array} $

(53)

令：

$ \left\{\begin{array}{l} \bar{\rho}=\sum\limits_{i=1}^{N}\left(\varepsilon^{2} / k_{i}+\left\|\tilde{\boldsymbol{F}}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right\|^{2} / \varsigma_{i}\right) \\ \bar{\eta}=\min \left[\left(\lambda_{i}-\frac{2}{\lambda_{\max }({\mathit{\pmb{\Delta}}}) \vartheta_{i}}\right)\right], i=1, 2, \cdots, N \end{array}\right.$

(54)

结合式（45）和式（52）可得：

$ \dot{{\mathit{\boldsymbol{V}}}}\left(t\right)\le -\stackrel{-}{\eta }{\mathit{\boldsymbol{V}}}\left(t\right)+\stackrel{-}{\rho } $

(55)

结合式（55），并根据文献[20]可得：

$ {\mathit{\boldsymbol{V}}}\left(t\right)\le {\mathit{\boldsymbol{V}}}\left(0\right){\mathrm{e}}^{-\stackrel{-}{\eta }t}+\frac{\stackrel{-}{\rho }}{\stackrel{-}{\eta }}\left(1-{\mathrm{e}}^{-\stackrel{-}{\eta }t}\right)=\frac{\stackrel{-}{\rho }}{\stackrel{-}{\eta }}+\left({\mathit{\boldsymbol{V}}}\left(0\right)-\frac{\stackrel{-}{\rho }}{\stackrel{-}{\eta }}\right){\mathrm{e}}^{-\stackrel{-}{\eta }t} $

(56)

式（56）表明，包含集成不确定项估计误差的参数$ \stackrel{-}{\rho } $能够收敛到足够小，且通过选择合适的参数，Lyapunov函数$ {\mathit{\boldsymbol{V}}}\left(t\right) $也能收敛到足够小，进而确保一致性误差收敛到足够小。

4 仿真与结果分析

为了验证本文提出的针对无人机模型不确定及外部干扰下的主从式多无人机姿态一致性控制方案的有效性，实验运用MATLAB R2016b环境进行仿真与分析。实验选择6架飞机进行模型不确定及外部干扰下的姿态一致性仿真，构建无人机模型所需参数见表 1。

本文给出：

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\mathrm{1, 0}, \mathrm{0, 0}, \mathrm{1, 0}\right) $

(57)

式（57）为领导者与无人机之间的通信权重矩阵，表明只有无人机1和无人机5与领导者之间存在信息交换，且无人机之间的邻接权重矩阵为：

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}}=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right] $

(58)

式（58）表明无人机之间存在通信。

给出惯性坐标系下的领导者姿态为：

$ {{\mathit{\boldsymbol{h}}}}_{l}=\left[\begin{array}{c}{\phi }_{l}\\ {\theta }_{l}\\ {\psi }_{l}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(t/2\right)/3\\ (1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-t/4\left)\right)/2\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(t/2\right)/3\end{array}\right] $

(59)

由式（59）可得出在机体坐标系下的领导者姿态角速度函数为：

$ {{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{l}={{\mathit{\boldsymbol{C}}}}_{ln}^{b}{\dot{\mathit{\pmb{\Theta}}}}_{l}^{n} $

(60)

各无人机的初始姿态取值为弧度-1到1之间的随机数。各无人机所受外部干扰、模型不确定项、状态测量误差及控制器微小故障为：

$ \left\{\begin{array}{l}{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{i}\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}\left(2{\left(-1\right)}^{i}-1\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(t\right)-{\left(-1\right)}^{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{ }2t\\ \left({\left(-1\right)}^{i}-2\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }t+\left({\left(-1\right)}^{i}-1\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }2t\\ \left(2-{\left(-1\right)}^{i}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{ }t+{\left(-1\right)}^{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }2t\end{array}\right]\\ \mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{i}=0.4\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }t\mathrm{ }{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{i}\\ \mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{i}=0.4\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{ }t\mathrm{ }{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{i}, \mathrm{ }\mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_{i}=0.4{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_{i}\\ \mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}=0.4\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }t\mathrm{ }{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}, \mathrm{ }\mathrm{\Delta }{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}_{i}=0.04\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }t\mathrm{ }{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}_{i}\end{array}\right. $

(61)

此外，为了对比验证本文提出的故障检测方案的性能，根据文献[12]设置区别式（50）的控制器（基于神经网络的直接自适应控制器）为：

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{u}_{i}(t)=-\boldsymbol{K}_{i} \boldsymbol{e}_{i}-\boldsymbol{B}_{i}^{+}\left(\hat{\boldsymbol{w}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right)+\boldsymbol{Q}_{i}+\boldsymbol{A}_{i} \boldsymbol{x}_{i}\right) \\ \dot{\hat{\boldsymbol{w}}}_{i}=\dot{\tilde{\boldsymbol{w}}}_{i}=k_{i}\left(\boldsymbol{\eta}_{i}\left(\boldsymbol{z}_{i}\right) e_{i}(t)^{\mathrm{T}}-\sigma_{i} \hat{\boldsymbol{w}}_{i}\right) \\ \boldsymbol{K}_{i}=\gamma_{i}\left(\frac{\lambda_{\max }(\mathit{\pmb{\Delta}})}{2}+\frac{1}{\gamma_{i} \rho_{i}}+\frac{1}{\gamma_{i} \zeta_{i}}\right) \boldsymbol{B}_{i}^{+} \\ \boldsymbol{z}_{i}=\boldsymbol{e}_{i} \end{array}\right. $

(62)

本文提出方法以及对比方法的控制参数相同，具体如表 2所示。

本文提出的基于观测器的间接自适应一致性方法的仿真结果如图 2和图 3所示。图 2给出了无人机1在惯性坐标系下相对于领导者姿态跟踪的效果，图 3给出了无人机1主从式一致性误差随时间的变化情况。

无人机1和无人机2的集成不确定项及估计值随时间的变化情况如图 4所示。从中可以看出曲线的拟合度较好，这说明本文设计的控制器能够补偿不确定项给无人机同步带来的干扰。图 5给出了无人机不确定项估计误差随时间的变化情况。基于文献[12]提出的神经网络直接自适应一致性方法的仿真结果如图 6~图 9所示。图 6给出了无人机1在惯性坐标系下相对于领导者姿态跟踪的效果，图 7给出了无人机1主从式一致性误差随时间的变化情况，图 8给出了无人机不确定项估计误差随时间的变化情况，图 9给出了无人机1和无人机2的集成不确定项及估计值随时间的变化情况。从图 2、图 3与图 6、图 7的姿态一致性跟踪效果可以看出，基于神经网络的直接姿态一致性控制方法的控制效果明显较差，相比基于观测器的间接姿态一致性控制方法，姿态在同步过程中有明显波动且无人机的主从式一致性误差也较大。通过对比图 4、图 5与图 8、图 9可知，基于观测器的间接不确定项估计方法对初期无人机不确定项的估计过程虽然有一定的抖动，但是相比基于神经网络设计的直接不确定项估计方法，最终稳定的不确定项估计误差波动范围较小，对不确定项的估计更为精确且快速。

5 结束语

本文提出一种基于观测器和神经网络的故障检测方法。该方法通过对无人机中干扰、模型不确定、状态测量误差以及控制器微小故障等集成不确定项进行快速精确估计，并在无需构造无人机实际模型的情况下，结合无人机名义模型设计一致性控制器，实现多无人机姿态对领导者的准确跟踪。下一步将在基于故障观测器的控制中引入智能控制算法，以完成无人机跟踪任务以及路径的寻优规划，满足多场景任务需求。