0 概述

20世纪初，法国学者POINCARÉ最早观察到混沌现象^[1]，美国气象学家LORENZ在研究气象变化时发现一种混沌系统的基本特征——初值敏感性，即初始值的微小变化可能造成结果的巨大变化，混沌理论由此诞生。混沌理论与相对论、量子理论并称为20世纪三大物理学发现^[2]。混沌现象广泛存在于自然界中，例如蝴蝶效应^[3-5]、湍流^[6-8]以及昆虫繁衍^[9-11]等。研究人员对混沌系统的动力学行为进行大量研究，所得混沌理论研究成果与其他众多学科相互渗透，共同推动了现代科技的发展。

混沌信号因具有频谱宽、自相关良好以及类噪声少等特性，成为扩频通信中极具竞争力的候选载波^[12-14]信号。混沌系统受初始值影响较大，其极易获得大量适用于多用户通信的正交混沌扩频码^[15]。差分混沌移位键控（Differential Chaos Shift Keying，DCSK）是一种应用于混沌通信领域的技术方案，其使用极性相反且两端相同的混沌扩频码来传输信息比特，接收方只需通过扩频码的极性差就可恢复传输比特。现有基于DCSK的载波索引差分混沌移位键控（Carrier Index DCSK，CI-DCSK）系统仅考虑单用户传输，在当前形式下无法支持多址通信。

本文提出一种基于CI-DCSK的多用户载波索引DCSK（Multi-User Carrier Index DCSK，MU CI-DCSK）通信系统。用户利用不同混沌参考信号的正交性标识身份信息，在私有子载波上传输各自的混沌参考信号，并使用载波索引和DCSK调制传送数据比特，利用高斯近似法对不同多用户通信系统的误码率（Bit Error Rate，BER）进行对比分析。

1 相关研究

近年来，研究人员提出多种混沌系统通信方案。其中，差分混沌键控系统因复杂度和误码率较低在混沌通信领域得到广泛应用^[16-17]。不同于传统扩频系统，DCSK虽然无需扩频码和信道估计，但其存在比特速率较低以及在超宽带通信中射频（Radio Frequency，RF）延迟线集成困难^[18-19]等问题。对此，文献[20]提出一种码移DCSK（Code-Shifted DCSK，CS-DCSK）方案，利用正交Walsh码分离数据与参考信号去除接收机中延迟线。此外，多载波DCSK（Multi-Carrier DCSK，MC-DCSK）在多个子载波上传输混沌参考信号和多路调制数据流^[21]，可避免使用延迟线，同时提高数据速率和能量效率。

研究人员针对DCSK的多址应用提出众多方案。文献[22]建立了双用户的DCSK系统，采用简单的一维迭代图为两个用户生成混沌信号，并利用混沌信号的正交性将DCSK方案扩展到双用户环境。文献[23]设计通用的DCSK多址方案，通过数据承载信号上不同的时隙延迟来区分不同用户。文献[24]提出多用户MC-DCSK调制方案，为每个用户分配专用频带以传输各自的参考信号和数据信号。文献[25]提出一种多用户正交频分复用DCSK（Multi-User Orthogonal Frequency Division Multiplexing DCSK，MU OFDM-DCSK）调制方案，使所有用户共享公共子载波以提高频谱效率。文献[26]构建一种高数据速率的码移DCSK（High Data Rate Code Shift DCSK，HCS-DCSK）系统，通过将不同混沌序列分配给各个用户，从而实现多用户扩展。

近年来，利用传输实体的索引号传递比特数据的调制方案——索引调制（Index Modulation，IM）引起研究人员的关注，其因具有能效较高以及硬件简单等优势成为下一代无线网络的有力竞争者^[27]。目前，研究人员将IM应用于DCSK中，并提出多种调制方案。文献[28]将码索引调制（Code Index Modulation，CIM）与DCSK结合，利用Walsh码索引携带额外的数据符号。文献[29]提出置换索引DCSK（Permutation Index DCSK，PI-DCSK）调制，利用预先定义好的置换操作索引携带更多比特数据。为了在PI-DCSK中实现参考信号与数据信号的同步传输，文献[30]构建一种换码索引DCSK（Change Code Index DCSK，CCI-DCSK）系统，参考序列及其含有数据的正交版本在同一时隙内发送信息，有效提高了频谱效率。基于IM和MC-DCSK，文献[31]提出载波索引DCSK（Carrier Index DCSK，CI-DCSK）调制方案，将子载波索引作为发送信息的新资源。文献[32]提出一种载波索引多进制DCSK（Carrier Index Multi-Level Digital DCSK，CI-MDCSK）方案，将CI-DCSK中的二进制DCSK调制扩展为多进制DCSK。该方法虽然有效提高了数据速率，但通信系统的误码率较高。为高效利用子载波资源，文献[33]提出一种2CI-DCSK调制方案，其将混沌信号的Hilbert变换作为另一路信息比特的传输载体，较CI-DCSK和2CI-DCSK方案在相同载波资源下多发送一路信息。文献[34]将CIM与多载波多进制DCSK（Multi-Carrier Multi-Level Digital DCSK，MCM-DCSK）调制相结合，获得了更高的数据速率。本文提出的多用户载波索引DCSK系统是对现有CI-DCSK系统的扩展，下文将介绍该系统的实现方法并对其BER性能进行分析。

2 本文系统模型

假设MU CI-DCSK系统中有M个用户，采用频带将系统平均划分为2^p+M个子频带。每个用户被分配1个私有子载波以发送自身的混沌参考信号，其余2^p个子载波作为索引子载波由全部用户共享。图 1为MU CI-DCSK系统信号的功率谱密度，其中f₁，f₂，…，f₂^p为M个用户共享的索引载波中心频率，相邻子载波之间频率间隔Δ$ =(1+\eta )/{T}_{\mathrm{c}} $，$ \eta $为脉冲成形滤波器的滚降因子。

图 2为用户m的发射机结构。在1个符号持续时间内，每个用户发送p + 1个数据比特。

在图 2中，前p个数据比特是索引位，最后1个数据比特是调制位。本文假设是用户m发送的信号，因此，在第v个符号持续时间内，混沌发生器m生成长度为β的混沌序列（混沌发生器采用二阶切比雪夫多项式映射，即x_k+₁=1-2x_k²），该序列被送入脉冲成形滤波器生成参考信号$ {x}_{v}^{\left(m\right)}\left(t\right) $，计算公式如下：

$ {x}_{v}^{\left(m\right)}\left(t\right)=\sum\limits_{k=1}^{\beta }{x}_{v, k}^{\left(m\right)}h(t-k{T}_{\mathrm{c}}) $

(1)

其中，T_c是码片时间，$ {x}_{v, \mathrm{ }k}^{\left(m\right)} $是在第v个符号持续时间内由混沌发生器m产生的第k个混沌样值，h（t）是能量归一化为1的脉冲成形滤波器的冲击响应。

根据用户输入的p个索引比特，载波索引调制模块分别对2^p个索引子载波生成2^p个载波调制系数来实现DCSK调制和载波索引调制。其中，$ {d}_{v, \mathrm{ }i}^{\left(m\right)} $表示在第v个符号持续时间内用户m第i个索引子载波的调制系数。在系数$ {d}_{v, \mathrm{ }1}^{\left(m\right)}，{d}_{v, \mathrm{ }2}^{\left(m\right)}，\cdots , {d}_{v, {2}^{p}}^{\left(m\right)} $中，只有一个为非零系数（其值为-1或+1），其他系数均为零。非零系数的位置取决于输入的p个索引比特数据，其值由极性转换后的调制比特数据确定。表 1为p = 3时的映射规则。

在第v个符号持续时间内发送的信号表示为：

$ \begin{array}{l}s\left(t\right)=\sum\limits_{i=1}^{{2}^{p}}\left(\sum\limits_{m=1}^{M}{d}_{v, i}^{\left(m\right)}{x}_{v}^{\left(m\right)}\left(t\right)\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\mathrm{\pi }{f}_{i}t+{\varphi }_{i})+\\ \hspace{1em}\sum\limits_{m=1}^{M}{x}_{v}^{\left(m\right)}\left(t\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(2\mathrm{\pi }{f}^{\left(m\right)}t+{\varphi }^{\left(m\right)}\mathrm{ }\right)\end{array} $

(2)

其中，$ {\varphi }^{\left(m\right)} $和$ {f}^{\left(m\right)} $分别为用户m私有子载波的相位角和中心频率，$ {\varphi }_{i} $和$ {f}_{i} $分别为第i个公共子载波的相位角和中心频率。

本文考虑到多径Rayleigh衰落信道，将接收方收到的信号表示为：

$ r\left(t\right)=\sum\limits_{l=1}^{L}{\alpha }_{v, l}\delta (t-{\tau }_{l}{T}_{\mathrm{c}})\otimes s\left(t\right)+n\left(t\right) $

(3)

其中，L是路径数，$ {\alpha }_{v, l} $和$ {\tau }_{l} $分别是第l条路径的信道系数和码片延迟，n（t）是平均值为零且功率谱密度为N₀/2的加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise，AWGN）。

接收方通过与相应同步子载波相乘进行滤波匹配来提取与用户m相关联的全部子载波（包括1个私有子载波和2^p个公共子载波）上传输的信号。每隔时间kT_c对提取的信号采样一次，将所得数据存储在两个矩阵中。图 3为用户m的接收机结构。

用户m的采样参考信号存储在矩阵$ {\boldsymbol{B}}^{\left(m\right)} $中，从2 ^p个公共子载波中提取的采样数据信号存储在矩阵$ {\boldsymbol{A}}^{\mathrm{ }\left(m\right)} $中，计算出相关矩阵$ {\boldsymbol{Z}}^{\left(m\right)} $如下：

$ {\boldsymbol{Z}}^{\left(m\right)}={\boldsymbol{A}}^{\left(m\right)}\times {\left({\boldsymbol{B}}^{\left(m\right)}\right)}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{l}{Z}_{v, 1}^{\left(m\right)}\\ {Z}_{v, 2}^{\left(m\right)}\\ ⋮\\ {Z}_{v, {2}^{p}}^{\left(m\right)}\end{array}\right] $

(4)

先通过能量比较器找到矩阵$ {\boldsymbol{Z}}^{\left(m\right)} $中具有最大绝对值的元素，然后根据表 1中的映射规则，利用能量比较器确定元素索引号，恢复得到p个索引比特。同时，由能量比较器确定元素极性，经阈值判决恢复得到调制比特。

3 BER性能分析

本文采用在混沌数字调制中应用最广泛的高斯近似（Gaussian Approximation，GA）法^[34]在多径Rayleigh衰落和加性高斯白噪声信道上分析MU CI-DCSK系统的BER性能。GA法有3个假设：1）衰落信道为慢衰落，信道系数在符号周期中保持恒定；2）当最大多径延迟远小于符号持续时间（$ 0<{\tau }_{{}_{l\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}<<\beta $）时，可忽略符号间干扰；3）判决变量的所有分量均服从高斯分布。

为便于分析，考虑MU CI-DCSK系统中存在两种情况：1）有用户冲突（不同用户激活同一个公共子载波来传输数据信号）；2）无用户冲突（每个公共子载波仅由某个用户激活）。系统BER的计算公式如下：

$ \begin{array}{l}\mathrm{B}\mathrm{E}{\mathrm{R}}_{\mathrm{M}\mathrm{U}\mathrm{ }\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{-}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{K}}={P}_{\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{-}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}\mathrm{B}\mathrm{E}{\mathrm{R}}_{1}+\\ (1-{P}_{\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{-}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}})\mathrm{B}\mathrm{E}{\mathrm{R}}_{2}\end{array} $

(5)

其中，BER₁和BER₂分别为MU CI-DCSK系统有用户冲突和无用户冲突时的误码率，P_{user-collision}为发生用户冲突的概率。

根据表 1中的映射规则，除非所有用户在1个符号持续时间内发送不同信息符号，否则会发生用户冲突。因此，发生用户冲突的概率P_{user-collision}计算公式如下：

$ {P}_{\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{-}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}=1-\frac{{2}^{p}-1}{{2}^{p}}\times \frac{{2}^{p}-2}{{2}^{p}}\times \cdots \times \frac{{2}^{p}-(M-1)}{{2}^{p}}=\\ \mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }1-\prod\limits_{i=1}^{M-1}\frac{{2}^{p}-i}{{2}^{p}} $

(6)

图 4为不同用户数下碰撞概率与索引比特数的关系曲线。可以看出，对于给定的不同用户数M，用户碰撞概率$ {P}_{\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{-}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}} $随索引比特数p的增加先急剧下降，再逐渐趋近于零，说明如果共享子载波的数量远大于用户数，则用户冲突及其对MU CI-DCSK系统BER性能的影响可忽略。表 2为$ {P}_{\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{-}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}} $ < 0.001时不同用户数M对应的最小p值。当M=2时，若索引比特数p＞10，则用户碰撞概率小于0.001。

假设共享子载波数远大于用户数，则MU CI-DCSK的近似BER表示为：

$ \mathrm{B}\mathrm{E}{\mathrm{R}}_{\mathrm{M}\mathrm{U}\mathrm{ }\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{-}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{K}}\approx \mathrm{B}\mathrm{E}{\mathrm{R}}_{2} $

(7)

若无用户冲突，则M个用户的索引比特将激活不同子载波，不同激活模式对系统的BER性能无影响。为便于分析，假设用户1，2，…，M分别激活第1，2，…，M个公共子载波。在第v个符号持续时间内，从第i个公共子载波上恢复的数据信号与用户1参考信号的相关值（判决变量）表示为：

$ {D}_{v, i}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{l}\sum\limits_{k=1}^{\beta }\left(\sum\limits_{l=1}^{L}{\alpha }_{v, l}{x}_{v, k-{\tau }_{l}}^{\left(1\right)}+{n}_{v, k}^{0}\right)\times \\ \left(\sum\limits_{l=1}^{L}{\alpha }_{v, l}{d}_{v, 1}^{\left(i\right)}{x}_{v, k-{\tau }_{l}}^{\left(i\right)}+{n}_{v, k}^{i}\right), 1\le i\le M\\ \sum\limits_{k=1}^{\beta }\left(\sum\limits_{l=1}^{L}{\alpha }_{v, l}{x}_{v, k-{\tau }_{l}}^{\left(1\right)}+{n}_{v, k}^{0}\right){n}_{v, k}^{i}, M<i\le {2}^{p}\end{array}\right. $

(8)

其中，$ {n}_{v, k}^{0}\mathrm{、}{n}_{v, k}^{i} $为两个独立的高斯噪声。对于较大的β，存在以下关系式：

$ \sum\limits_{k=1}^{\beta }{x}_{v, k-l}{x}_{v, k-q}\approx 0, l\ne q $

(9)

$ {D}_{v, i}^{\left(1\right)} $的平均值和方差分别为：

$ E\left[{D}_{v, i}^{\left(1\right)}\right]=\left\{\begin{array}{l}\sum\limits_{l=1}^{L}{\alpha }_{v, l}^{2}{E}_{x}^{\left(1\right)}{d}_{v, 1}^{\left(1\right)}={\mu }_{1}, i=1\\ 0, \mathrm{ }\mathrm{ }1<i\le {2}^{p}\end{array}\right. $

(10)

$ \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}\left[{D}_{v, i}^{\left(1\right)}\right]=\left\{\begin{array}{l}\sum\limits_{l=1}^{L}{\alpha }_{v, l}^{2}{E}_{x}^{\left(1\right)}{N}_{0}+\frac{{N}_{0}^{2}\beta }{4}={\sigma }_{1}^{2}, 1\le i\le M\\ \sum\limits_{l=1}^{L}{\alpha }_{v, l}^{2}{E}_{x}^{\left(1\right)}\frac{{N}_{0}}{2}+\frac{{N}_{0}^{2}\beta }{4}={\sigma }_{2}^{2}, M<i\le {2}^{p}\end{array}\right. $

(11)

其中，$ {E}_{x}^{\left(1\right)}=\sum\limits_{k=1}^{\beta }{\left({x}_{v, k}^{\left(1\right)}\right)}^{2} $为用户1混沌参考信号的能量。

用户1激活第1个公共子载波进行数据传输，如果$ \left|{D}_{v, 1}^{\left(1\right)}\right| $小于$ \left|D{}_{v, i}{}^{\left(1\right)}\right| $ $ (1<i\le {2}^{p}) $的最大值，则会在恢复索引比特时发生错误。用户1索引比特的符号错误率计算公式为：

$ \begin{array}{l}{p}_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{-}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{x}}=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\left(\left|{D}_{v, 1}^{\left(1\right)}\right|<\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(\left|{D}_{v, i}^{\left(1\right)}\right|\right)\left|1<i\le {2}^{p}\right.\right)=\\ \hspace{1em}\hspace{1em}  \hspace{1em}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }1-{\int }_{0}^{+\mathrm{\infty }}{\left({F}_{\left|{D}_{v, i}^{\left(1\right)}\right|}\left(r\right)\right)}^{{2}^{p}-1}{f}_{\left|{D}_{v, 1}^{\left(1\right)}\right|}\left(r\right)\mathrm{d}r\end{array} $

(12)

其中，$ {F}_{{}_{\left|{D}_{v, i}^{\left(1\right)}\right|}}\left(r\right) $是$ \left|{D}_{v, i}^{\left(1\right)}\right| $的累积分布函数，$ {f}_{{}_{\left|{D}_{v, 1}^{\left(1\right)}\right|}}\left(r\right) $是$ \left|{D}_{v, 1}^{\left(1\right)}\right| $的概率密度函数。

根据中心极限定理，$ {D}_{v, i}^{\left(1\right)} $服从高斯分布，且其平均值和方差可由式（10）和式（11）计算得到。$ {f}_{{}_{\left|{D}_{v, 1}^{\left(1\right)}\right|}}\left(r\right) $和$ {F}_{{}_{\left|{D}_{v, i}^{\left(1\right)}\right|}}\left(r\right) $的表达式分别为：

$ {f}_{\left|{D}_{v, 1}^{\left(1\right)}\right|}\left(r\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }{\sigma }_{1}^{2}}}\left({\mathrm{e}}^{-\frac{(r-{\mu }_{1}{)}^{2}}{2{\sigma }_{1}^{2}}}+{\mathrm{e}}^{-\frac{(r+{\mu }_{1}{)}^{2}}{2{\sigma }_{1}^{2}}}\right) $

(13)

$ {F}_{\left|{D}_{v, i}^{\left(1\right)}\right|}\left(r\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\frac{r}{\sqrt{2{\sigma }_{1}^{2}}}\right), \begin{array}{c}1<i\le M\end{array}\\ \mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\frac{r}{\sqrt{2{\sigma }_{2}^{2}}}\right), \begin{array}{c}M<i\le {2}^{p}\end{array}\end{array}\right. $

(14)

根据式（13）和式（14），式（12）可简化为：

$ \begin{array}{l}\mathrm{ }{p}_{{}_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{-}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{x}}}=1-\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi }\left(2(p+1){\gamma }_{\mathrm{b}}+\beta \right)}}{\int }_{0}^{+\mathrm{\infty }}{\left(\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\frac{\sqrt{2}r}{\sqrt{(p+1){\gamma }_{\mathrm{b}}+\beta }}\right)\right)}^{{2}^{p}-M}\times \hspace{1em}{\left(\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\frac{\sqrt{2}r}{\sqrt{2(p+1){\gamma }_{\mathrm{b}}+\beta }}\right)\right)}^{M-1}\times \\ \left({\mathrm{e}}^{-\frac{(2r-(p+1){\gamma }_{\mathrm{b}}{)}^{2}}{4(p+1){\gamma }_{\mathrm{b}}+2\beta }}+{\mathrm{e}}^{-\frac{(2r+(p+1){\gamma }_{\mathrm{b}}{)}^{2}}{4(p+1){\gamma }_{\mathrm{b}}+2\beta }}\right)\mathrm{d}r\end{array} $

(15)

其中，$ {\gamma }_{\mathrm{b}}=2\sum\limits_{l=1}^{L}{\alpha }_{v, l}^{2}{E}_{x}^{\left(1\right)}/(p+1){N}_{0} $。

用户1索引比特的误码率计算公式如下：

$ {p}_{\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{-}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{x}}=\frac{{2}^{{}^{p-1}}}{{2}^{{}^{p}}-1}{p}_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{-}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{x}} $

(16)

在恢复调制比特时，应考虑以下两种情况：1）正确恢复得到索引比特；2）检测索引比特时发生错误。

对于第1种情况，调制比特的BER计算如下：

$ \mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\left(\left|{D}_{v, 1}^{\left(1\right)}\right|\right)\ne {d}_{v, 1}^{\left(1\right)}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}\left(\frac{\left|{\mu }_{1}\right|}{\sqrt{2{\sigma }_{1}^{2}}}\right) $

(17)

对于第2种情况，调制比特的BER计算如下：

$ \begin{array}{l}{p}_{\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{-}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}=\frac{1}{2}{p}_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{-}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{x}}+\\ {{{{{{{{{{{}^{{}^{}}}^{{}^{}}}^{{}^{}}}^{{}^{}}}^{{}^{}}}^{{}^{}}}^{{}^{}}}^{{}^{}}}^{{}^{}}}^{{}^{}}}^{{}^{}}\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\left(\left|{D}_{v, 1}^{\left(1\right)}\right|\right)\ne {d}_{v, 1}^{\left(1\right)}\right)\left(1-{p}_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{-}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{x}}\right)\end{array} $

(18)

根据式（16）和式（18）得到用户1误码率的计算公式为：

$ {p}_{\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{R}}=\frac{p}{p+1}{p}_{\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{-}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{x}}+\frac{1}{p+1}{p}_{\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{-}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}} $

(19)

其他子载波激活模式和用户也可获得类似结果。因此，在L个独立同分布的Rayleigh衰落信道上，MU CI-DCSK系统的BER计算公式如下：

$ \mathrm{B}\mathrm{E}{\mathrm{R}}_{\mathrm{M}\mathrm{U}\mathrm{ }\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{-}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{K}}=\mathrm{B}\mathrm{E}{\mathrm{R}}_{2}={\int }_{0}^{+\mathrm{\infty }}{p}_{\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{R}}f\left({\gamma }_{\mathrm{b}}\right)\mathrm{d}{\gamma }_{\mathrm{b}} $

(20)

$ f\left({\gamma }_{b}\right)=\frac{{\gamma }_{\mathrm{b}}^{L-1}}{(L-1)!{\overline{\gamma }}_{\mathrm{c}}^{L}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{\gamma }_{\mathrm{b}}}{{\gamma }_{\mathrm{c}}}\right) $

(21)

其中，$ {\overline{\gamma }}_{\mathrm{c}}=\left({E}_{\mathrm{b}}/{N}_{0}\right)E\left[{\alpha }_{l}^{2}\right] $。若L = 1，$ {\alpha }_{1}=1 $，$ {\tau }_{1}=0 $，则式（20）适用于AWGN信道。

4 仿真与结果分析

为验证第2节的分析结果，本文在三径Rayleigh衰落信道和AWGN信道上给出MU CI-DCSK系统（以下称为本文系统）的仿真结果，并在AWGN信道上与CI-DCSK、MU MC-DCSK、MU OFDM-DCSK以及HCS-DCSK系统进行对比分析。仿真实验使用具有相等平均功率增益（$ E\left({\alpha }_{1}^{2}\right)=E\left({\alpha }_{2}^{2}\right)=E\left({\alpha }_{3}^{2}\right)=1/3 $）的三径Rayleigh衰落信道，码片延迟设置为：$ {\tau }_{1}=0, {\tau }_{2}=1, {\tau }_{3}=2 $。

图 5为当混沌序列长度β= 80时，本文系统在AWGN信道和三径Rayleigh衰落信道上的BER随$ {E}_{\mathrm{b}}/{N}_{0} $的变化曲线。从图中可以看出，随着$ {E}_{\mathrm{b}}/{N}_{0} $的增大，本文系统的BER值逐渐减小，该仿真结果（Sim）与式（20）计算结果（Ana）一致，证实了第2节分析结果的正确性。

图 6和图 7分别为本文系统在AWGN信道和三径Rayleigh衰落信道上当用户数M = 3和索引比特数p = 9时BER与β的关系曲线。从图中可以看出，当β较小时，仿真结果与式（20）计算所得理论结果不一致，这归因于GA方法的局限性，即仅在β足够大时式（8）中判决变量自相关项的实际分布才为高斯分布。MU CI-DCSK的BER性能随着β的增加而降低，其原因在于当β增加时，会有更多的噪声成分被引入式（8）中。

图 8为AWGN信道和三径Rayleigh衰落信道上当用户数M为2时索引比特数p和本文系统BER性能的关系曲线，混沌序列长度β设置为80。从图中可以看出，本文系统的BER性能随着索引比特数p的增加而改善。

图 9为AWGN信道和三径Rayleigh衰落信道上当索引比特数p = 9时用户数M和本文系统BER的关系曲线，混沌序列长度β设置为80。从图中可以看出，当用户数量M增加时，本文系统的BER降低，其原因在于用户数增加会导致用户碰撞概率增大，从而在决策变量中产生更多噪声信号干扰。

为获取本文系统支持的最大用户数，分析BER < 1.0×10^-4且E_b/N₀ = 12 dB时用户数M对本文系统BER的影响，结果如图 10所示。从图中可以看出：最大用户数随索引比特数p的增加而增大；当p = 9时，本文系统最多支持38个用户；当p = 10时，系统最多支持70个用户。其原因在于更高的索引比特数p需要更大带宽，可容纳的用户数更多。

图 11为本文系统与MU MC-DCSK、HCS-DCSK和MU OFDM-DCSK系统在AWGN信道上BER的比较结果，在上述系统中，每个用户在1个符号周期内发送9个数据比特，用户数为3，混沌序列长度β设置为250。可以看出，本文系统的BER性能最佳。

5 结束语

本文提出一种多用户载波索引差分混沌移位键控系统。系统用户利用分配的私有子载波发送混沌参考信号，并共享索引子载波发送数据信号，将公共索引子载波与DCSK系统相结合提高子载波的利用率。实验结果表明，该系统的误码率较MU OFDM-DCSK、HCS-DCSK等多用户系统更低。后续将利用Walsh码的正交性来标识不同用户，以消除用户间信息碰撞的噪声干扰，并考虑利用混沌信号与其希尔伯特变换之间的正交性为用户发送更多信息，从而进一步提高系统的能量效率和频谱效率。