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0 概述

为适应第5代(Fifth-Generation，5G)移动通信系统/超5代(Beyond Fifth-Generation，B5G)移动通信系统的不同应用场景，无线通信技术正在快速发展。作为5G/B5G网络的常见场景，热点场景发生在高密度移动用户的区域中，且在短时间内引起数据速率激增。为了满足这一需求，5G/B5G网络必须由考虑覆盖的宏小区部署转型到考虑容量的小小区部署，一般以用户为中心且由各类低功率基站(Base Station，BS)组成。将无人机(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)与毫米波结合，可以显著提升5G/B5G网络的性能。

目前，UAV已经成为民用和军用领域中新兴的通信替代品^[1]。与传统的地面蜂窝通信相比，UAV因其高移动性能够在热点场景中快速部署和建立通信^[2]。由于UAV与地面用户之间以视距(Line of Sight，LoS)链路为主，能更好地形成空对地信道，因此未来5G/B5G网络架构将有可能从固定地面基础设施改良为空中移动连接^[3]。为实现5G/B5G的超可靠和低延迟通信，可选择毫米波通信^[4]。在UAV协助的无线通信系统中，UAV可以飞出阻塞区域以建立LoS链路，克服穿透损耗，有利于毫米波信号的传输。

在地面蜂窝网络和UAV网络共存的多层异构网络中，由于地面基站(Ground-Base Station，G-BS)/UAV基站(UAV-Base Station，U-BS)的位置存在不规则性，因此需要采用随机几何和空间点过程等数学方法来实现精确的建模和简化的分析^[5-7]。同时，由于G-BS/U-BS和用户设备(User Equipment，UE)之间的空间耦合容量不足，为有效捕获UE和G-BS之间的耦合，文献[8-10]将UE热点中心建模为独立的泊松点过程(Poisson Point Process，PPP)。进一步地，为了在紧急和热点场景中增大网络容量并降低G-BS的负载，采用基于簇的方案^[11]，并且UE和UAV分布在相同的簇中心周围。然而，针对UAV协助的多层毫米波异构蜂窝网络，基于簇的UAV空中小小区的部署技术还不够成熟。文献[12]将空中移动BS的UAV位置建模成独立的PPP，但忽略了UE与U-BS耦合的问题。此外，文献[13]表明，通过部署多个空中UAV可以加强用户性能。

针对UAV通信中的吞吐量研究，文献[14]选择对UAV飞行路径进行规划来提高吞吐量，但却忽略了对地面多个节点的考虑。同样，基于路径规划的方法，文献[15]也达到了高吞吐量的目标，但却要求UAV保持匀速移动，在现实场景中操作性很低。文献[16]为最大化有限时间内的平均吞吐量提出了优化的UAV轨迹，但仅研究了时间对吞吐量的影响，并没有考虑其他因素比如功率等对吞吐量的影响。就本文的多层网络模型而言，其考虑了地面用户设备(Ground User Equipment，GUE)的存在以及多因素对系统性能的影响等。

针对紧急或热点场景，本文在毫米波频率上建立了一个由基于托马斯簇过程(Thomas Cluster Process，TCP)建模的U-BS和基于PPP建模的G-BS组成的UAV协助的多层毫米波异构蜂窝网络模型，其中将GUE的位置建模为泊松簇过程(Poisson Cluster Process，PCP)，以PPP分布的G-BS作为U-BS与地面热点中心自然耦合的父点过程，同样也是GUE的父点过程。为提高该多层网络模型的平均区域吞吐量(Average Area Throughput，AAT)并发掘簇间级联对网络性能的影响，本文基于最强的长期平均偏置接收功率(Biased Received Power，BRP)构建GUE级联策略，并得出典型GUE与每层G-BS/U-BS级联的概率。根据典型GUE所受干扰的拉普拉斯变换(Laplace Transform，LT)以及条件覆盖概率等推导出系统AAT。同时，研究了U-BS投影在地面上的分布方差、G-BS密度对级联概率的影响以及不同级联方案可获取的AAT。

1 系统模型与假设 1.1 系统模型

本文针对现实热点场景搭建了一个包含G-BS和U-BS的毫米波异构蜂窝网络，其中宏小区和小小区分别由G-BS和U-BS组成。为了减轻G-BS的流量负载，假定空中U-BS成簇且投影在G-BS周围。在欧几里得平面上，将G-BS的位置建模成密度为$ {\lambda }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $的齐次PPP$ {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $，U-BS的位置建模成父点过程为$ {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $的PCP，由于U-BS部署在热点地区，进一步将其建模为TCP$ {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{U}-\mathrm{B}\mathrm{S}}({\lambda }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}}, \stackrel{-}{m}) $，其投影根据方差为$ {\sigma }^{2} $的相同且对称的高斯分布独立地分散在$ {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $周围，因此在数学层面上可以进一步推导出$ {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{U}-\mathrm{B}\mathrm{S}}({\lambda }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}}, \stackrel{-}{m})=\underset{x\in {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}}}{\cup }\left\{x+{\mathbb{N}}^{x}\right\} $，其中$ {\mathbb{N}}^{x}\equiv \left\{y\right\} $代表U-BS相对于簇中心$ x\in {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $的投影集合。任意U-BS在地面上的投影概率密度函数(Probabilities Density Function，PDF)为：

$ {f}_{Y}\left(y\right)=\frac{1}{2\mathrm{\pi }{\sigma }^{2}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{‖y‖}^{2}}{2{\sigma }^{2}}\right) $

(1)

其中：$ ‖y‖ $是位置$ y $的欧几里得范数。因此，遵循瑞利分布的簇内任意点到父点距离$ r=‖y‖ $的PDF为：

$ {f}_{R}\left(r\right)=\frac{r}{{\sigma }^{2}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{r}^{2}}{2{\sigma }^{2}}\right) $

(2)

此外，构建了额外的2个层：1层$ {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{U}-\mathrm{B}\mathrm{S}}^{1} $和3层$ {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}}^{3} $分别由簇间U-BS和簇间G-BS组成^[17]。因此，网络模型扩展为：0层由簇内U-BS组成，1层由簇间U-BS组成，2层由簇内G-BS组成，3层由簇间G-BS组成。

如图 1所示，$ {x}_{0}\in {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $表示簇内G-BS的位置，$ {z}_{0} $和$ z $分别表示空中簇内服务U-BS和干扰U-BS的位置，$ {v}_{0}=‖{x}_{0}‖ $表示典型GUE到代表簇中心的距离，$ {y}_{{d}_{0}} $和$ {w}_{0} $分别表示典型GUE的空中服务U-BS的水平投影到代表簇中心和典型GUE的距离，$ w $和$ {y}_{d} $分别表示空中干扰U-BS的水平投影到典型GUE和代表簇中心的簇内距离，$ x\in {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $表示簇间G-BS的位置，$ v=‖x‖ $表示典型GUE到簇中心$ x\in {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $的距离，$ u $和$ y $分别表示空中簇间干扰U-BS的水平投影到典型GUE和簇中心$ x\in {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $的距离。

1.2 传输模型

对于传输过程中产生的损耗，本文采用了LoS球模型，$ {R}_{i} $定义为$ i $层LoS球的半径。所有的G-BS/U-BS和GUE都配备了定向天线阵列。基于位置信息，发射器和接收器可以调整其天线方向，以实现最大的波束成形增益，从而补偿由毫米波的短波长引起的高路径损耗^[18]。为了便于分析，使用了扇形天线模型，$ i $层天线的特性通过3个值进行参数化^[19-20]：1)主瓣增益$ {M}_{i, s} $(dBm)；2)副瓣增益$ {m}_{i, s} $(dBm)；3)主瓣波束宽度$ {\theta _{i, s}} \in \left[ {{\rm{0}}, {\rm{2 \mathsf{ π} }}} \right] $，其中$ s\in \left\{{T}_{t}, r\right\} $。而在$ s\in \left\{{T}_{t}\right\} $、$ T\in \left\{G, U\right\} $、$ T=G $时代表G-BS处的发射天线，在$ T=U $时代表U-BS处的发射天线，$ s=r $表示GUE处的接收天线。当考虑GUE处的接收天线时，即$ s=r $，为统一表述，假设$ {M}_{i, s} $、$ {m}_{i, s} $和$ {\theta }_{i, s} $中$ i=u $。典型GUE从$ i $层发射器接收到的最大发射增益为$ {G}_{{M}_{i}}={M}_{i, {T}_{t}}{M}_{u, r} $。因此，典型GUE从$ i $层发射器$ {T}_{t} $接收到的总发射增益$ {G}_{i, j} $和概率$ {b}_{i, j} $，$ j\in \left\{\mathrm{1, 2}, \mathrm{3, 4}\right\} $，如表 1所示。

2 UE级联标准与概率

为了突出多层网络模型的优势，本文对2种级联方案进行比较，即2层级联方案和4层级联方案。传统的2层级联方案仅考虑了典型GUE与簇内G-BS/U-BS进行级联，而本文提出的4层级联方案则全面考虑了典型GUE分别与簇内及簇间的G-BS/U-BS级联的所有情况。采用4层级联方案，有利于量化簇间G-BS/U-BS对UAV协助的多层毫米波异构蜂窝网络性能的影响。

这2种级联方案均遵循最大BRP准则，即典型GUE将与提供最强的长期平均BRP的G-BS/U-BS级联^[21-23]。因此，当典型GUE与$ i $层中位于$ x $处最近的G-BS/U-BS级联时，有：

$ i=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\underset{k\in \left\{\mathrm{1, 2}, \mathrm{3, 4}\right\}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left\{{P}_{k}{B}_{k}{G}_{{M}_{k}}{L}_{k}^{-1}\left(x\right)\right\} $

(3)

其中：$ {P}_{k} $表示$ k $层的发射功率；$ {B}_{k} $表示$ k $层的偏置因子；$ {L}_{k}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{{L}_{k, j}\right\} $，$ j\in {\mathit{\Phi} }_{k} $，表示典型GUE到$ k $层的最小路径损耗。由该级联标准，级联概率定义为典型GUE与$ i $层中处于LoS或非视距(Not Line of Sight，NLoS)状态的G-BS/U-BS级联的概率，其中$ i\in \left\{\mathrm{0, 1}, \mathrm{2, 3}\right\} $。

由于0层和2层的G-BS/U-BS位于代表簇内，有且仅有唯一距离典型GUE最近的簇内G-BS/U-BS，在大多数情况下，可以通过调整UAV的位置和高度来改变典型GUE与簇内G-BS/U-BS之间的链路状态。因此，链路状态可以为LoS或NLoS。考虑将0层和2层的路径损耗建模为2种状态的模型，在链路$ t $上，$ t\in \left\{L, N\right\} $，$ {t}'\in \left\{L, N\right\} $/t，则典型GUE与$ i\in \left\{\mathrm{0, 2}\right\} $层G-BS/U-BS级联的概率公式为：

$ {A_{i, t}} = PL_{i, t'}^{ - 1} > L_{i, t}^{ - 1} \times \prod\limits_{k \in \left\{ {0, 1, 2, 3} \right\}\backslash i} {P\left( {{L_k} > {C_{k, i}}{L_{i, t}}} \right)} $

(4)

其中：$ {C}_{k, i}=\frac{{P}_{k}{B}_{k}{G}_{{M}_{k}}}{{P}_{i}{B}_{i}{G}_{{M}_{i}}} $；当$ t=L $和$ t=N $时，概率$ P\left({L}_{i, t'}^{-1}>{L}_{i, t}^{-1}\right) $分别表示为$ {P}_{i}^{L} $和$ {P}_{i}^{N} $。由此，典型GUE与$ i\in \left\{\mathrm{0, 2}\right\} $层G-BS/U-BS级联的概率公式为：

$ {A_{i, t}} = P_i^sP\left( {{L_{k\backslash i}} > {C_{k, i}}{L_{i, t}}} \right) \times \prod\limits_{k \in \left\{ {{\rm{1}}, {\rm{3}}} \right\}} P \left( {{L_k} > {C_{k, i}}{L_{i, t}}} \right) $

(5)

其中：$ {L}_{k\backslash i} $表示除了$ i $层处，典型GUE到$ k $层最近G-BS/U-BS的路径损耗，$ s\in \left\{L, N\right\} $。同理，1层和3层的G-BS/U-BS位于代表簇间，收发器之间的距离较长且典型GUE与簇间G-BS/U-BS之间的信号传输容易受到障碍物的影响，因此链路状态为NLoS。考虑将1层和3层的路径损耗建模为单一状态的模型，则典型GUE与$ i\in \left\{\mathrm{1, 3}\right\} $层G-BS/U-BS级联的概率公式为：

$ {A_i} = \prod\limits_{k \in \left\{ {{\rm{0}}, {\rm{1}}, {\rm{2}}, {\rm{3}}} \right\}\backslash i} {P\left( {{L_k} > {C_{k, i}}{L_i}} \right)} $

(6)

3 干扰统计描述

为了便于网络性能的分析，本节引入了干扰的LT。当典型的GUE与$ i $层的G-BS/U-BS相级联时，由于毫米波共信道的部署，所接收的信号可能会受到同层以及其他层G-BS/U-BS的干扰。在不失一般性的前提下，假设典型GUE与$ i $层级联距离为$ {X}_{i, t'} $的G-BS/U-BS相级联。

3.1 0层和2层的干扰

当典型GUE受到0层U-BS干扰的链路处于LoS状态时，典型GUE受到的干扰$ {I}_{i, t'}^{0, \mathrm{L}} $的LT为：

$ \begin{array}{l} L_{{I_{i, t'}}}^{0, {\rm{L}}}\left( s \right) = {\rm{exp}} - \left( {\bar m\int_{\min \left( {{L_{0, L}}\left( {{R_0}} \right), {C_{0, i}}{L_{i, t'}}\left( {{X_{i, t'}}} \right)} \right)}^{{L_{0, L}}\left( {{R_0}} \right)} {} } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\left( {1 - \sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{{{b_{0, i}}N_{0, t}^{{N_{0, L}}}}}{{{{\left( {{N_{0, L}} + s{P_0}{G_{0, i}}{t^{ - 1}}{N_{0, L}}} \right)}^{{N_{0, L}}}}}}} } \right){f_{{L_{0, L}}}}\left( t \right){\rm{d}}t} \right) \end{array} $

(7)

其中：$ \stackrel{-}{m} $表示簇成员的平均数；$ {N}_{i, t} $表示衰落参数。

概率密度函数为：

$ \begin{array}{l} {f_{{L_{0, L}}}}\left( t \right) = - {\rm{exp}}\left( { - {\Lambda _{0, L}}\left( {\left( {0, {{\left( {{t^{2/{\alpha _{0, L}}}} - {H^2}} \right)}^{{\alpha _{0, L}}/2}}} \right]} \right)} \right) \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{\rm{d}}{\Lambda _{0, L}}\left( {\left( {0, {{\left( {{t^{2/{\alpha _{0, L}}}} - {H^2}} \right)}^{{\alpha _{0, L}}/2}}} \right]} \right)}}{{{\rm{d}}t}} \end{array} $

(8)

其中：$ {\mathit{\Lambda} }_{i, t} $表示密度测量；$ H $表示U-BS的高度；$ {\alpha }_{i, t} $表示路径损耗指数。

当典型GUE受到0层U-BS干扰的链路处于NLoS状态时，典型GUE受到的干扰$ {I}_{i, t'}^{0, N} $的LT为：

$ {L}_{{I}_{i, t'}^{0, N}}\left(s\right)=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\stackrel{-}{m}\left({P}_{0}^{N}{L}_{\mathrm{I}\mathrm{n}}+{L}_{\mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}}\right)\right) $

(9)

输入干扰$ {L}_{\mathrm{I}\mathrm{n}} $和输出干扰$ {L}_{\mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}} $的LT分别为：

$ \begin{aligned} L_{\mathrm{In}} &=\int_{\min \left(L_{0, N}\left(R_{0}\right), C_{0, i} L_{i, 0}\left(x_{i, t}\right)\right)}^{L_{0, N}\left(R_{0}\right)} \\ & \;\;\; \left(1-\sum\limits_{j=1}^{4} \frac{b_{0, j} N_{0, N}^{N_{0, N}}}{\left(N_{0, N}+s P_{0} G_{0, j} t^{-1}\right)^{1 / N_{0, N}}}\right) f_{L_{0, N}}(t) \mathrm{d} t \end{aligned} $

(10)

$ \begin{array}{l}{L}_{\mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}}={\int }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left({L}_{0, N}\left({R}_{0}\right), {C}_{0, i}{L}_{i, 0}\left({X}_{i, t'}\right)\right)}^{\mathrm{\infty }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \left( {1 - \sum\limits_{j = 1}^4 {\frac{{{b_{0, j}}N_{0, t}^{{N_{0, t}}}}}{{{{\left( {{N_{0, t}} + s{P_0}{G_{0, j}}L_{0, N}^{ - 1}{N_{0, t}}} \right)}^{1/{N_{0, t}}}}}}} } \right){f_{{L_{0, N}}}}\left( t \right){\rm{d}}t \end{array} $

(11)

概率密度函数为：

$ \begin{array}{l}{f}_{{L}_{0, N}}(t)=-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{\mathit{\Lambda} }_{0, N}\left(\left(0, {\left({t}^{2/{\alpha }_{0, N}}-{H}^{2}\right)}^{{\alpha }_{0, N}/2}\right]\right)\right)\times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\mathrm{d}{\mathit{\Lambda} }_{0, N}\left(\left(0, {\left({t}^{2/{\alpha }_{0, N}}-{H}^{2}\right)}^{{\alpha }_{0, N}/2}\right]\right)}{\mathrm{d}t}\end{array} $

(12)

当典型GUE受到2层G-BS干扰的链路处于LoS状态时，典型GUE受到的干扰$ {I}_{i, t'}^{2, L} $的LT为：

$ {L_{_{{I_{i, t'}}}^{2, L}}}\left( s \right) = \sum\limits_{j = 1}^4 {{b_{2, j}}} {L_{I_{2, L}^{{G_{2, j}}}}}\left( s \right) $

(13)

干扰$ {I}_{2, L}^{{G}_{2, j}} $的LT为：

$ {L}_{{I}_{2, L}^{{G}_{2, j}}}(s)={\int }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({L}_{2, L}\left({R}_{2}\right), {C}_{2, i}{L}_{i, t'}\left({X}_{i, t'}\right)\right)}^{{L}_{2, L}\left({R}_{2}\right)}\frac{{N}_{2, L}}{{\left({N}_{2, L}+s{P}_{2}{G}_{2, j}{t}_{}^{-1}\right)}^{{N}_{2, L}}}\times \frac{{f}_{{L}_{2, L}}\left(t\right)}{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }^{2}}{\left({C}_{2, i}{L}_{i, t'}\left({X}_{i, t'}\right)\right)}^{2/{\alpha }_{2, L}}\right)-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }^{2}}{\left({L}_{2, L}\left({R}_{2}\right)\right)}^{2/{\alpha }_{2, L}}\right)}\mathrm{d}t $

(14)

概率密度函数为：

$ {f}_{{L}_{2, L}}(t)=-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{\mathit{\Lambda} }_{2, L}\left(\left(0, t\right]\right)\right)\frac{\mathrm{d}{\mathit{\Lambda} }_{2, L}\left(\left(0, t\right]\right)}{\mathrm{d}t} $

(15)

当典型GUE受到2层G-BS干扰的链路处于NLoS状态时，典型GUE受到的干扰$ {I}_{i, t'}^{2, N} $的LT为：

$ {L}_{{I}_{i, t'}^{2, N}}(s)=\sum\limits_{j = 1}^4 {{b_{2, j}}} \left({P}_{2, N}{L}_{{I}_{2, N-1}^{{G}_{2, j}}}(s)+{L}_{{I}_{2, N-2}^{{G}_{2, j}}}\right) $

(16)

干扰$ {I}_{2, N-1}^{{G}_{2, j}} $和$ {I}_{2, N-2}^{{G}_{2, j}} $的LT分别为：

$ \begin{array}{l}{L}_{{I}_{2, N-1}^{{G}_{2, \mathrm{j}}}}(s)={\int }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({L}_{2, L}\left({R}_{2}\right), {C}_{2, i}{L}_{i, t'}\left({X}_{i, t'}\right)\right)}^{{L}_{2, t}\left({R}_{2}\right)}\frac{{N}_{2, N}^{}}{{\left({N}_{2, N}^{}+s{P}_{2}{G}_{2, j}{t}_{}^{-1}\right)}^{{N}_{2, N}}}\times \frac{1}{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }^{2}}{\left({C}_{2, i}{L}_{i, t'}\left({X}_{i, t'}\right)\right)}^{2/{\alpha }_{2, N}}\right)-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }^{2}}{\left({L}_{2, L}\left({R}_{2}\right)\right)}^{2/{\alpha }_{2, N}}\right)}\times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{{t}^{2/{\alpha }_{2, N-1}}}{{\sigma }^{2}{\alpha }_{2, N}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }^{2}}{t}^{2/{\alpha }_{2, N}}\right)\mathrm{d}t\end{array} $

(17)

$ {L}_{{I}_{2, N-2}^{{G}_{2, j}}}(s)={\int }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left({C}_{2, i}{L}_{i, t'}\left({X}_{i, t'}\right), {R}_{2}\right)}^{\mathrm{\infty }}\frac{{N}_{2, N}^{}}{{\left({N}_{2, N}^{}+s{P}_{2}{G}_{2, j}{t}_{}^{-1}\right)}^{{N}_{2, N}}}\times \frac{1}{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }^{2}}{\left({L}_{2, L}\left({R}_{2}\right)\right)}^{2/{\alpha }_{2, N}}\right)}\times \frac{{t}^{2/{\alpha }_{2, N-1}}}{{\sigma }^{2}{\alpha }_{2, N}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }^{2}}{t}^{2/{\alpha }_{2, N}}\right)\mathrm{d}t $

(18)

3.2 1层和3层的干扰

如上文所述，典型GUE与1层和3层的G-BS/U-BS之间的链路状态为NLoS。因此，典型GUE受到1层簇间U-BS干扰$ {I}_{i, t'}^{1} $的LT为：

$ \begin{array}{l}{L}_{{I}_{i, t'}^{1}}(s)=\\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\stackrel{}{\underset{}{\stackrel{\stackrel{}{}}{\underset{}{-}}}}2\mathrm{\pi }{\lambda }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}}\stackrel{-}{m}\right.\left.{\int }_{0}^{\mathrm{\infty }}\left(1-\mathop \sum \limits_{i = 1}^4 \frac{{b}_{1, j}{N}_{1}^{{N}_{1}^{}}}{{\left({N}_{1}^{}+s{P}_{1}{G}_{1, j}{t}_{}^{-1}\right)}^{{N}_{1}}}\right){t}_{}^{\frac{2}{{\alpha }_{1}}-1}\frac{1}{{\alpha }_{1}}\mathrm{d}t\right)\end{array} $

(19)

典型GUE受到3层簇间G-BS干扰$ {I}_{i, t'}^{3} $的LT为：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{L_{I_{i, t'}^3}}\left( s \right) = {\rm{exp}}\left( { - \int_{{G_{3, i}}{L_{i, 0}}\left( {{X_{i, t'}}} \right)}^\infty {\left( {1 - \sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{{{b_{1, i}}N_3^{N_3^{}}}}{{{{\left( {N_3^{} + s{P_3}{G_{3, i}}t_{}^{ - 1}} \right)}^{{N_3}}}}}} } \right)} } \right. \times }\\ {\left. {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\Lambda} _3}\left( {\left[ {0, dt} \right]} \right)} \right)} \end{array} $

(20)

4 平均区域吞吐量分析

本节研究了系统的AAT，即给定带宽时单位时间单位区域内传输的下行链路平均位数。在所考虑的通信场景中，给定信号与干扰加噪声比(Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR)阈值$ \tau $，则条件覆盖概率$ {P}_{i, t'}\left(\tau \right) $和$ {P}_{i}\left(\tau \right) $的期望值分别表示为：

$ {P}_{0, t'}\left(\tau \right)=\mathbb{E}\left\{ {\sum\limits_{n = 1}^{{N_{0, t'}}} {{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{0, t'}}}\\ n \end{array}} \right){\rm{exp}}\left( { - i\sigma _{0, t'}^2{L_{0, t'}}\left( {{X_{0, t'}}} \right)\sigma _0^2} \right)} \right.\left. {\left( {\prod\limits_{t \in \left\{ {L, N} \right\}} {{L_{I_{0, t'}^{0, t}}}} \left( s \right)\sum\limits_{t \in \left\{ {L, N} \right\}} {{L_{I_{0, t'}^{2, t}}}} \left( s \right)\prod\limits_{k = \left\{ {{\rm{1}}, {\rm{3}}} \right\}} {{L_{I_{0, t'}^k}}} \left( s \right)} \right)\left| {s = n\sigma _{0, t'}^2{L_{0, t'}}\left( {{X_{0, t'}}} \right)} \right.} \right\} $

(21)

$ {P}_{2, t'}\left(\tau \right)=\mathbb{E} \left\{ {\sum\limits_{n = 1}^{{N_{2, t'}}} {{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{2, t'}}}\\ n \end{array}} \right){\rm{exp}}\left( { - n\sigma _{2, t'}^2{L_{2, t'}}\left( {{X_{2, t'}}} \right)\sigma _0^2} \right)} \right.\left( {\prod\limits_{t \in \left\{ {L, N} \right\}} {{L_{I_{2, t'}^{0, t}}}} \left( s \right)\prod\limits_{k = \left\{ {{\rm{1}}, {\rm{3}}} \right\}} {{L_{I_{2, t'}^k}}} \left( s \right)} \right)\left. {\left| {s = n\sigma _{2, t'}^2{L_{2, t'}}\left( {{X_{2, t'}}} \right)} \right.} \right\} $

(22)

$ {P}_{i}\left(\tau \right)=\mathbb{E}\left\{ {\sum\limits_{n = 1}^{{N_i}} {{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}} \left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{N_i}}\\ n \end{array}} \right){\rm{exp}}\left( { - n\sigma _i^2{L_j}\left( {{r_3}} \right)\sigma _0^2} \right)} \right.\left. {\left( {\left( {\sum\limits_{t \in \left\{ {L, N} \right\}} {{L_{I_i^{2, t}}}} \left( s \right)} \right)\left( {\prod\limits_{t \in \left\{ {L, N} \right\}} {{L_{I_i^{0, t}}}} \left( s \right)} \right)\left( {{L_{{I_i}}}{{\left( s \right)}_{i \ne j}}} \right)} \right)\left| {s = } \right.n\sigma _i^2{L_i}\left( {{X_i}} \right)} \right\} $

(23)

其中：$ {\sigma }_{i, t'}^{2}=\frac{{\zeta }_{i, t'}\tau }{{P}_{i}{G}_{{M}_{i}}} $；$ {\zeta }_{i, t'}={N}_{i, t'}{\left({N}_{i, t'}!\right)}^{-1/{N}_{i, t'}} $；干扰$ {I}_{i, t'}^{0, t} $的LT$ {L}_{{I}_{i, t'}^{0, t}}\left(s\right) $由式(7)和式(9)给出；干扰$ {I}_{i, t'}^{2, t} $的LT$ {L}_{{I}_{i, t'}^{2, t}}\left(s\right) $由式(13)和式(16)给出；干扰$ {I}_{i, t'}^{1} $的LT$ {L}_{{I}_{i, t'}^{1}}\left(s\right) $由式(19)给出；干扰$ {I}_{i, t'}^{3} $的LT$ {L}_{{I}_{i, t'}^{3}}\left(s\right) $由式(20)给出。假设可用带宽为$ W $，则可获取的AAT为：

$ {R}_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}={R}_{\mathrm{U}-\mathrm{B}\mathrm{S}}+{R}_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $

其中：$ {R}_{\mathrm{U}-\mathrm{B}\mathrm{S}}={R}_{{D}_{0}}+{R}_{{D}_{1}} $；$ {R}_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}}={R}_{{D}_{2}}+{R}_{{D}_{3}} $；另外$ {R}_{{D}_{i}} $，$ i\in \left\{\mathrm{0, 1}, \mathrm{2, 3}\right\} $表示$ i $层G-BS/U-BS可获取的下行链路AAT，其公式分别表示为：

$ {R}_{{D}_{0}}=\stackrel{-}{m}W\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\tau \right)\left({A}_{0, L}{P}_{0, L}\left(\tau \right)+{A}_{0, N}{P}_{0, N}\left(\tau \right)\right) $

(24)

$ {R}_{{D}_{1}}=\stackrel{-}{m}{\lambda }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}}W\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\tau \right){A}_{1}{P}_{1}\left(\tau \right) $

(25)

$ {R}_{{D}_{2}}=W\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\tau \right)\left({A}_{2, L}{P}_{2, L}\left(\tau \right)+{A}_{2, N}{P}_{2, N}\left(\tau \right)\right) $

(26)

$ {R}_{{D}_{3}}={\lambda }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}}\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\tau \right){A}_{3}{P}_{3}\left(\tau \right) $

(27)

5 仿真和数值结果分析

由上述推导和分析，本节给出了仿真和数值结果，验证了理论推导的正确性，并分析了不同网络参数对级联概率和可获取的AAT的影响。为清晰可见，除非另有说明，所有的仿真分析均使用表 2中的参数值。

基于以上参数配置，图 2所示为相关系统参数对级联概率产生的影响。其中，图 2(a)给出了级联概率与U-BS投影在地面上的分布方差$ {\sigma }^{2} $之间的关系。随着分布方差$ {\sigma }^{2} $的增大，典型GUE到U-BS的平均距离减小。所以，典型GUE到U-BS的路径损耗减少。由于G-BS/U-BS与其提供最强的长期平均偏置接收功率的GUE相级联，因此在图 2(a)中，典型GUE和U-BS级联的概率$ {A}_{0, L} $、$ {A}_{0, N} $和$ {A}_{1} $随着分布方差$ {\sigma }^{2} $的增大而增大，而典型GUE和G-BS级联的概率$ {A}_{2, L} $、$ {A}_{2, N} $和$ {A}_{3} $随着分布方差$ {\sigma }^{2} $的增大而减小。另外，由图 2(a)可以看出，典型GUE与G-BS/U-BS在LoS链路状态下级联的概率通常大于NLoS链路状态下的概率，即$ {A}_{0\left(2\right), L} $通常大于$ {A}_{0\left(2\right), N} $。当$ {\sigma }^{2} $很小时，典型GUE与代表簇内G-BS/U-BS级联的概率$ {A}_{0\left(2\right), L} $和$ {A}_{0\left(2\right), N} $通常大于典型GUE与簇间G-BS/U-BS级联的概率$ {A}_{1} $和$ {A}_{3} $。图 2(b)展示了级联概率与G-BS密度$ {\lambda }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $之间的关系。由图 2(b)可知，典型GUE与簇间G-BS/U-BS的级联概率$ {A}_{1} $和$ {A}_{3} $随着密度$ {\lambda }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $的增大而增大，而典型GUE与代表簇内G-BS/U-BS的级联概率$ {A}_{0\left(2\right), L} $和$ {A}_{0\left(2\right), N} $则随着密度$ {\lambda }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $的增大而减小。且典型GUE与G-BS/U-BS在LoS链路状态下级联的概率通常远大于NLoS链路状态下的概率，即$ {A}_{0\left(2\right), L} $通常大于$ {A}_{0\left(2\right), N} $。同时，图 2(b)也证明了密度$ {\lambda }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $对级联概率影响很小，尤其当典型GUE与代表簇内G-BS/U-BS级联处于LoS链路状态时，随着密度$ {\lambda }_{\mathrm{G}-\mathrm{B}\mathrm{S}} $的增大，其级联概率几乎没有明显的起伏。

图 3给出了在簇成员平均数$ \stackrel{-}{m} $值不同的情况下，可获取的AAT与SINR阈值$ \tau $之间的关系以及不同级联方案之间可获取的AAT的比较。图 3(a)和图 3(b)都显示了SINR阈值$ \tau $的增大并不总是有益于AAT的提高。当SINR阈值$ \tau $相对较小时，可获取的AAT会随着SINR阈值$ \tau $的增大而增大。随着SINR阈值$ \tau $的不断增大，可获取的AAT将达到最大值，此时存在最佳SINR阈值$ {\tau }_{0} $。当SINR阈值$ \tau $大于最佳SINR阈值$ {\tau }_{0} $时，可获取的AAT会随着SINR阈值$ \tau $的增大而减小。对比图 3(a)和图 3(b)中最佳SINR阈值$ {\tau }_{0} $对应的AAT可以发现，当$ \stackrel{-}{m} $值增大时，可获取的AAT会相对减小。由图 3(a)可知，当SINR阈值$ \tau $取相同值时，4层级联方案中G-BS/U-BS可获取的下行链路AAT均大于2层级联方案，因此4层级联方案可获取的总AAT要高于2层级联方案。在图 3(b)中，可以更清晰地看出，4层级联方案实现的AAT相较于2层级联方案所能实现的AAT显著提升。因此，由图 3的比较分析可证实本文提出的4层级联方案，在UAV协助的多层毫米波异构蜂窝网络中有利于提高可获取的AAT，优化了该多层网络的性能。

6 结束语

本文构建一种UAV协助的多层毫米波异构蜂窝网络。基于最大BRP准则，研究5G/B5G网络热点场景下的级联概率。通过随机几何的方法，利用典型GUE的级联概率及覆盖概率，推导出系统AAT的表达式，并分析相关参数对系统性能的影响。仿真结果表明，本文4层级联方案更有利于网络资源的开发，显著提高了网络性能。下一步将研究UAV协助的多层毫米波异构蜂窝网络中典型GUE的平均SINR覆盖概率。