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0 概述

超可靠低时延通信（Ultra-Reliable Low-Latency Communication，URLLC）是第五代移动通信（the Fifth Generation，5G）的三大应用场景之一，也是对时延和可靠性要求最严格的一类应用服务，可靠性达到99.999%和用户面端到端时延不超过1 ms是URLLC通信的基本目标^[1]，其应用包括无人驾驶、车联网、工业自动化等方面^[2]。工业物联网和工业4.0推动着工业应用向自动化和智能化方向发展，工业应用常具有数据量小、对端到端时延和可靠性要求严苛等特点，因此，URLLC系统在工业领域的应用受到越来越多的重视^[3]。

作为5G的关键应用场景之一，URLLC的相关研究如频谱效率^[4-5]、资源分配^[6-8]等备受工业界和学术界关注。文献[4]研究了长期演进技术在URLLC业务下的频谱效率问题。文献[6]研究了实时上行URLLC系统中的资源分配方案。考虑到解码错误率对系统性能的影响，文献[7]基于最小最大解码错误率研究了工业物联网中URLLC场景下的资源分配问题。考虑到URLLC业务总是与eMBB共存，文献[8]研究了无人机中继网络中eMBB和URLLC复用时的资源分配问题。为提升系统性能，多输入多输出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）技术被用于提高URLLC系统的可靠性^[9]。MIMO技术利用基站配备的大量接收天线增加空间分集，可有效提高网络性能和系统可靠性。文献[9]将MIMO技术应用于实时无线控制系统，提升了URLLC上行链路系统的能量效率。文献[10]研究了有限块长下大规模MIMO系统的错误率，并讨论了大规模MIMO系统中URLLC业务传输的可行性。文献[11]利用基于混合波束形成的大规模MIMO技术有效提升了空中计算系统的性能。文献[12]采用大规模MIMO技术解决了工业应用无线传输中的数据速率最大化问题。

多用户通信系统中所有用户将共用各种无线资源，产生的用户干扰会影响系统性能，因此，需要考虑减小或消除用户干扰。MIMO系统常采用多用户检测技术消除干扰^[13]，因此，研究者对多用户MIMO系统中的多用户检测技术进行了大量研究。多用户检测包括非线性多用户检测和线性多用户检测。文献[14]提出了并行干扰消除算法，这是一种非线性算法，其基本思想是同时对所有用户进行检测，并通过反复迭代得到更加精确的检测结果。文献[15]针对MIMO干扰信道提出一种新的干扰消除方法，该方法可提升系统容量和可靠性。在无人机协助的大规模MIMO系统中，为减少用户之间的干扰，文献[16]提出一种混合预编码方案。针对线性接收机，文献[17]研究了匹配滤波（Matched Filtering，MF）接收机和迫零（Zero-Forcing，ZF）接收机在大规模MIMO上行系统中的可达和速率。文献[18]研究了大规模MIMO系统在匹配滤波和迫零波束形成下的渐近等价系统和速率。文献[19]研究了蜂窝网络上行链路中迫零接收机的性能。文献[20]针对MIMO系统中迫零均衡器的性能展开研究。在天线数和用户数较少的情况下，非线性检测算法性能表现优秀，但随着两者数量增加，这类接收机的计算复杂度会呈指数增长。相较于非线性接收机，线性接收机具有更低的运算复杂度，能有效减轻系统负载，具有良好的实用性。然而在现有文献中，对于URLLC场景下多用户MIMO系统中线性接收机的可靠性讨论并不充分。

本文研究URLLC业务下多用户MIMO上行链路系统中匹配滤波接收机和迫零接收机的解码性能。考虑一个多用户MIMO上行系统，推导系统中MF和ZF线性接收机解码错误率的解析式，并采用基于随机矩阵理论的渐近等价分析方法获得高低信噪比这两种特殊场景下解码错误率的表达式。在此基础上，以解码错误率作为接收机的可靠性指标，基于所得解析式分析两种接收机的可靠性，比较两者在URLLC通信系统中的性能差异。

1 系统模型

考虑一个单小区多用户MIMO上行系统，该系统包含一个配备M根接收天线的基站和K个单天线用户，设有$ M\ge K $。本文中所有用户通过D个子信道发送包含B Byte信息的短数据包，系统接收机已知信道状态信息，因此，基站端接收信号为：

$ \boldsymbol{X}=\sqrt{P}\boldsymbol{G}\boldsymbol{S}+\boldsymbol{N} $

(1)

其中：$ \boldsymbol{G} $表示用户与基站之间的信道矩阵；$ \boldsymbol{S}\in {\mathbb{C}}^{K\times D} $表示所有用户的发送信号；$ \boldsymbol{N}=[{\boldsymbol{n}}_{1}, {\boldsymbol{n}}_{2}, \cdots , {\boldsymbol{n}}_{M}{]}^{\mathrm{H}}\in {\mathbb{C}}^{M\times D} $表示基站端的加性复高斯白噪声，$ {\boldsymbol{n}}_{m}=[{n}_{m, 1}, {n}_{m, 2}, \cdots , $ $ {n}_{m, D}]\in $ $ {\mathbb{C}}^{1\times D} $且$ n~CN(0, {\sigma }^{2}) $，$ {[ \cdot ]}^{\mathrm{H}} $表示矩阵的共轭转置。

信道矩阵$ \boldsymbol{G}\in {\mathbb{C}}^{M\times K} $表示为：

$ \boldsymbol{G}=[{\boldsymbol{g}}_{1}, {\boldsymbol{g}}_{2}, \cdots , {\boldsymbol{g}}_{K}]=\boldsymbol{H}{\boldsymbol{D}}^{\frac{1}{2}} $

(2)

其中：$ \boldsymbol{H}=[{\boldsymbol{h}}_{1}, {\boldsymbol{h}}_{2}, \cdots , {\boldsymbol{h}}_{K}]\in {\mathbb{C}}^{M\times K} $表示小尺度衰落信道矩阵，其信道矩阵的每个元素为独立同分布的复高斯随机变量，即$ {h}_{m, k}~CN\left(\mathrm{0, 1}\right) $，$ {h}_{m, k} $是表示用户k到基站第m根天线的小尺度衰落因子；对角矩阵$ \boldsymbol{D}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}[{\beta }_{1}, {\beta }_{2}, \cdots , {\beta }_{K}]\in ({\mathbb{R}}^{+}{)}^{K\times K} $表示大尺度衰落，$ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}[\; \cdot \;] $表示对角矩阵，$ {\beta }_{k} $为用户k到基站的大尺度衰落因子。因此，第k个用户到基站的信道向量为$ {\boldsymbol{g}}_{k}=[{g}_{1, k}, {g}_{2, k}, \cdots , {g}_{M, k}{]}^{\mathrm{T}}= $ $ {\beta }_{k}^{\frac{1}{2}}[{h}_{1, k}, {h}_{2, k}, \cdots , {h}_{M, k}{]}^{\mathrm{T}} $，$ {g}_{m, k} $表示用户k到基站第m根天线的信道系数。

MF接收机检测接收端的信号流，通过接收矩阵判断发射信号，并将用户干扰视为高斯噪声，MF接收矩阵表示为$ {\boldsymbol{A}}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}={\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}} $，MF接收机端的接收信号表示为：

$ {\boldsymbol{Y}}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}={\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{X}=\sqrt{P}{\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{G}\boldsymbol{S}+{\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{N} $

(3)

其中：$ {\boldsymbol{Y}}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}\in {\mathbb{C}}^{K\times D} $；P表示用户的发射功率，本文考虑每个用户具有相同的发射功率。

在上行系统中，MF接收机端用户k的信干噪比（Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio，SINR）表达式为：

$ {\gamma }_{k}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}=\frac{\rho {\left|{\boldsymbol{g}}_{k}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{g}}_{k}\right|}^{2}}{\rho \sum\limits_{i=1, i\ne k}^{K}{\left|{\boldsymbol{g}}_{k}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{g}}_{i}\right|}^{2}+{||{\boldsymbol{g}}_{k}||}^{2}} $

(4)

其中：$ \rho =\frac{P}{{\sigma }^{2}} $表示信噪比。

ZF接收机采用迫零检测算法消除用户干扰，其接收矩阵表示为$ {\boldsymbol{A}}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}=({\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{G})}^{-1}{\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}} $。ZF接收机端的接收信号表示为：

$ {\boldsymbol{Y}}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}={\boldsymbol{A}}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}\boldsymbol{X}=\sqrt{P}\boldsymbol{S}+({\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{G})}^{-1}{\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{N} $

(5)

其中：$ {\boldsymbol{Y}}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}\in {\mathbb{C}}^{K\times D} $，用户干扰被接收矩阵$ {\boldsymbol{A}}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}} $强制置零，即接收信号中只存在发射信号和噪声。

在上行系统中，ZF接收机端用户k的SINR表达式为：

$ {\gamma }_{k}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}=\frac{\rho }{{\left[({\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{G})}^{-1}\right]}_{k, k}} $

(6)

在仅考虑矩阵相乘时间复杂度的情况下：由于MF接收机检测接收信号时的矩阵乘法包括1次矩阵和矩阵的乘法$ {\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{X} $，因此其计算复杂度为O（$ MKD $），可表示为O（K）；由于ZF接收机检测接收信号时的矩阵乘法包括1次矩阵和矩阵的乘法$ {\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{G} $、1次K阶的矩阵求逆运算$ ({\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{G})}^{-1} $、1次矩阵和矩阵的乘法$ ({\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{G})}^{-1}{\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}} $、1次矩阵和矩阵的乘法$ ({\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{G})}^{-1}{\boldsymbol{G}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{X} $，因此其计算复杂度为O（$ {K}^{3}+2{K}^{2}M+MKD $），可表示为O（K³）。由此可见，MF接收机和ZF接收机的计算复杂度与用户数K均为线性相关，而非指数相关。

2 接收机解码错误率

由于URLLC业务的数据包非常小，数据包大小B$ \le $32 Byte，且URLLC数据需要在有限块长下传输，而在多用户MIMO系统中用户占用的子信道数D等于码块长度L，因此上行链路系统的用户数据速率表示为R=B/L。依据文献[21]可知，有限块长下用户数据速率表示为：

$ R=\mathrm{l}\mathrm{b}(1+\gamma )-\sqrt{\frac{V\left(\gamma \right)}{L}}\frac{Q{\left(\varepsilon \right)}^{-1}}{\mathrm{l}\mathrm{n}2} $

(7)

其中：$ \gamma $表示SINR；$ \varepsilon $表示系统接收端解码错误率；$ Q{\left(x\right)}^{-1} $是高斯$ Q $函数的逆函数，$ Q\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\int }_{x}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{(-{t}^{2}/2)}\mathrm{d}t $；$ V\left(\gamma \right) $表示信道色散系数。

$ V\left(\gamma \right)=1-\frac{1}{{(1+\gamma )}^{2}} $

(8)

由式（7）可知，解码错误率$ \varepsilon $由$ \gamma $和L决定。将R=B/L代入式（7）中，上行系统接收端解码错误率$ \varepsilon $表示为：

$ \varepsilon =Q\left(\mathrm{l}\mathrm{n}2\sqrt{\frac{L}{V\left(\gamma \right)}}\left(\mathrm{l}\mathrm{b}(1+\gamma )-\frac{B}{L}\right)\right) $

(9)

在URLLC通信系统中，多用户MIMO上行链路中MF接收机第k个用户的解码错误率$ {\varepsilon }_{k}^{\mathrm{M}\mathrm{F}} $表示为：

$ {\varepsilon }_{k}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}=Q\left(\mathrm{l}\mathrm{n}2\sqrt{\frac{L}{V\left({\gamma }_{k}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}}\left(\mathrm{l}\mathrm{b}(1+{\gamma }_{k}^{\mathrm{M}\mathrm{F}})-\frac{B}{L}\right)\right) $

(10)

ZF接收机第k个用户的解码错误率$ {\varepsilon }_{k}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}} $表示为：

$ {\varepsilon }_{k}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}=Q\left(\mathrm{l}\mathrm{n}2\sqrt{\frac{L}{V\left({\gamma }_{k}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}\right)}}\left(\mathrm{l}\mathrm{b}(1+{\gamma }_{k}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}})-\frac{B}{L}\right)\right) $

(11)

3 高低信噪比场景下接收机性能

本文在高信噪比和低信噪比两种特殊场景下，推导MF接收机和ZF接收机解码错误率的解析表达式，并以解码错误率作为接收机的可靠性指标，分析多用户MIMO上行链路中用户数K、基站天线数M、系统信噪比$ \rho $对接收机解码错误率的影响。

3.1 高信噪比场景下接收机性能

在高信噪比场景下，采用基于随机矩阵理论的渐近等价分析方法，推导MF接收机和ZF接收机解码错误率的解析表达式，并分析两种接收机对于URLLC业务的适用性。

引理1  在高信噪比下，当$ K, M\to \mathrm{\infty } $，且比例因子$ \frac{M}{K}\ge 1 $为固定值时，将MF接收机应用在上行系统中第k个用户的解码错误率渐近等价式为：

$ {\varepsilon }_{k}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}=Q\left(\mathrm{l}\mathrm{n}2\cdot \sqrt{L}\cdot \left(\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{{\beta }_{k}\rho \left(M-1\right)}{{\beta }_{k}\rho \left(K-1\right)+1}\right)-\frac{B}{L}\right)\right) $

(12)

证明  根据文献[22]可知，$ \sqrt{V} $的级数展开式可表示为：

$ \sqrt{V}=\sqrt{1-\frac{1}{{(1+\gamma )}^{2}}}=1-\sum\limits_{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{b}_{j}}{{(1+\gamma )}^{2j}} $

(13)

$ {b}_{j}\triangleq \left|\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ j\end{array}\right)\right|=\left(\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}-1\right)\cdots \left(\frac{1}{2}-j+1\right)}{j!}\right) $

(14)

在高信噪比场景下，可以忽略式（13）中无穷级数的所有项，多用户MIMO匹配滤波上行系统中第k个用户的信道色散系数表示为：

$ \sqrt{V\left({\gamma }_{k}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}\to 1 $

(15)

当$ K, M\to \mathrm{\infty } $，且比例因子$ \frac{M}{K}\ge 1 $为固定值时，根据文献[23]可知，匹配滤波上行系统中第k个用户的SINR渐近等价表达式为：

$ {\gamma }_{k}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}=\frac{\rho {||{\boldsymbol{g}}_{k}||}^{2}}{\rho \sum\limits_{i=1, i\ne k}^{K}\frac{{\left|{\boldsymbol{g}}_{k}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{g}}_{i}\right|}^{2}}{{||{\boldsymbol{g}}_{k}||}^{2}}+1}\to \frac{{\beta }_{k}\rho \left(M-1\right)}{{\beta }_{k}\rho \left(K-1\right)+1} $

(16)

将式（15）和式（16）代入式（10）中，可得到式（12），证毕。

在归一化情况下，即大尺度衰落$ \boldsymbol{D}={\boldsymbol{I}}_{K} $且噪声为$ n\sim \mathrm{C}\mathrm{N}\left(\mathrm{0, 1}\right) $，当$ K, M\to \mathrm{\infty } $，且$ \frac{M}{K}\ge 1 $为固定值时，在高信噪比场景下，即$ \rho \to \mathrm{\infty } $，多用户MIMO匹配滤波系统中用户解码错误率收敛到：

$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}=Q\left(\mathrm{l}\mathrm{n}2\cdot \sqrt{L}\cdot \left(\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{M}{K}\right)-\frac{B}{L}\right)\right) $

(17)

由式（17）可知，当$ \rho \to \mathrm{\infty } $，且块长L和数据包大小B为常量时，$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{M}\mathrm{F}} $与$ \frac{M}{K} $有关。当$ \frac{M}{K}=2.5 $时，每个用户通过块长L=128传输20 Byte的数据包，高信噪比下MF接收机解码错误率收敛于$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}=4.24\times {10}^{-6} $ < 10^-5，且$ \frac{M}{K} $的值越高，MF接收机解码错误率越低。因此，在高信噪比场景下，在支持短数据包传输的多用户MIMO系统中，MF接收机能满足URLLC业务的可靠性要求。

引理2  在高信噪比场景下，当$ K, M\to \mathrm{\infty } $，且比例因子$ \frac{M}{K}\ge 1 $为固定值时，将ZF接收机应用在上行系统中用户k的解码错误率渐近等价式为：

$ {\varepsilon }_{k}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}=Q\left(\mathrm{l}\mathrm{n}2\cdot \sqrt{L}\cdot \left(\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+{\beta }_{k}\rho \left(\frac{M}{K}-1\right)\right)-\frac{B}{L}\right)\right) $

(18)

证明  在高信噪比场景下，多用户MIMO迫零上行系统中第k个用户的信道色散系数表示为：

$ \sqrt{V\left({\gamma }_{k}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}\right)}\to 1 $

(19)

当$ K, M\to \mathrm{\infty } $，且$ \frac{M}{K}\ge 1 $为固定值时，根据文献[24-25]可知，第k个用户的SINR渐近等价式为：

$ {\gamma }_{k}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}=\frac{{\beta }_{k}\rho }{{\left[{\left({\boldsymbol{H}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{H}\right)}^{-1}\right]}_{k, k}}\to {\beta }_{k}\rho \left(\frac{M}{K}-1\right) $

(20)

将式（19）和式（20）代入式（11）中，可得到式（18），证毕。

在归一化情况下，即大尺度衰落$ \boldsymbol{D}={\boldsymbol{I}}_{K} $且噪声为$ n\sim \mathrm{C}\mathrm{N}\left(\mathrm{0, 1}\right) $，当$ K, M\to \mathrm{\infty } $，且$ \frac{M}{K} $为固定值时，多用户MIMO迫零系统中用户解码错误率表示为：

$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}=Q\left(\mathrm{l}\mathrm{n}2\cdot \sqrt{L}\cdot \left(\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\rho \left(\frac{M}{K}-1\right)\right)-\frac{B}{L}\right)\right) $

(21)

从式（21）可以看出：当$ \frac{M}{K} $为常量时，$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}} $与信噪比$ \rho $为负相关；随着信噪比增大，$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}} $逐渐降低并趋于零；当用户通过块长L=128传输20 Byte的数据包，$ \frac{M}{K}=2 $，且迫零上行系统中$ \rho =23.{8}_{}\mathrm{d}\mathrm{B} $时，ZF接收机解码错误率$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}=3.53\times {10}^{-6}\le {10}^{-5} $。因此，在高信噪比场景下，在支持短数据包传输的多用户MIMO上行系统中，ZF接收机能够满足URLLC业务的可靠性要求。

3.2 低信噪比场景下接收机性能

在低信噪比场景下，采用基于随机矩阵理论的渐近等价分析方法，推导MF接收机和ZF接收机解码错误率的解析表达式，并分析多用户MIMO上行链路中两种接收机的解码错误率是否可满足URLLC通信系统的可靠性要求。

引理3  在低信噪比场景下，当$ K, M\to \mathrm{\infty } $，且$ \frac{M}{K}\ge 1 $为固定值时，多用户MIMO匹配滤波上行系统中第k个用户的解码错误率渐近等价式为：

$ {\tilde{\varepsilon }}_{k}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}=Q\left(\mathrm{l}\mathrm{n}2\sqrt{\frac{L}{{\tilde{V}}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}}}\left(\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{{\beta }_{k}\rho \left(M-1\right)}{{\beta }_{k}\rho \left(K-1\right)+1}\right)-\frac{B}{L}\right)\right) $

(22)

信道色散系数$ \sqrt{{\tilde{V}}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}} $表示为：

$ \sqrt{{\tilde{V}}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}}=1-\sum\limits_{j=1}^{3}\frac{{b}_{j}}{(1+{\gamma }_{k}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}{)}^{2j}} $

(23)

证明  根据文献[22]可知，在低信噪比场景下，信道色散系数$ \sqrt{\tilde{V}} $表示为：

$ \sqrt{\tilde{V}}=1-\sum\limits_{j=1}^{3}\frac{{b}_{j}}{(1+{\gamma }_{k}{)}^{2j}} $

(24)

匹配滤波上行系统中第k个用户的信道色散系数的级数展开式可由式（23）表示。将式（16）、式（23）代入式（11）中，可得到式（22），证毕。

在归一化场景下，式（22）可转化为：

$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}=Q\left(\mathrm{l}\mathrm{n}2\frac{\sqrt{L}}{\sqrt{{\tilde{V}}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}}}\left(\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{\rho \left(M-1\right)}{\rho \left(K-1\right)+1}\right)-\frac{B}{L}\right)\right) $

(25)

引理4  在低信噪比场景下，当$ K, M\to \mathrm{\infty } $，且$ \frac{M}{K}\ge 1 $为固定值时，多用户MIMO迫零上行系统中第k个用户的解码错误率渐近等价式为：

$ {\tilde{\varepsilon }}_{k}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}=Q\left(\mathrm{l}\mathrm{n}2\sqrt{\frac{L}{{\tilde{V}}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}}}\left(\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+{\beta }_{k}\rho \left(\frac{M}{K}-1\right)\right)-\frac{B}{L}\right)\right) $

(26)

信道色散系数$ \sqrt{{\tilde{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{F}}} $表示为：

$ \sqrt{{\tilde{V}}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}}=1-\sum\limits_{j=1}^{3}\frac{{b}_{j}}{(1+{\gamma }_{k}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}{)}^{2j}} $

(27)

证明  根据式（24）可知，在低信噪比场景下，迫零上行系统中第k个用户的信道色散系数的级数展开式由式（27）表示。将式（27）、式（20）代入式（11）中，可得到式（26），证毕。

在归一化场景下，式（26）可转化为：

$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}=Q\left(\mathrm{l}\mathrm{n}2\frac{\sqrt{L}}{\sqrt{{\tilde{V}}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}}}\left(\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\rho \left(\frac{M}{K}-1\right)\right)-\frac{B}{L}\right)\right) $

(28)

由式（25）和式（28）可知，在给定块长L和数据包大小B的情况下，当信噪比$ \rho \to 0 $时，$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{M}\mathrm{F}} $和$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}} $均高于10^-5，两种线性接收机难以满足URLLC业务的高可靠性要求。

4 仿真验证

采用蒙特卡罗方法验证上文所得MF/ZF接收机的渐近等价表达式。蒙特卡罗方法得到的仿真值是在100 000次信道实现下的结果，主要仿真参数如表 1所示。假设多用户MIMO系统中用户随机均匀地分布在一个以基站为中心、半径为R_s的小区中。大尺度衰落因子由$ {\beta }_{k}=35.3+37.6\mathrm{l}\mathrm{g}\;{d}_{k} $表示，其中$ {d}_{k} $为用户k与基站之间的距离。

在URLLC业务下的多用户MIMO系统中，两种线性接收机的用户数据速率与系统信噪比的变化曲线如图 1所示，其中：系统接收端的解码错误率设置为$ \varepsilon ={10}^{-5} $；覆盖半径设置为R_s=500 m。

由仿真结果可知：本文所得MF接收机渐近等价表达式与蒙特卡罗仿真结果十分接近。在低信噪比时，本文所得ZF接收机渐近等价式计算的速率结果低于蒙特卡罗仿真结果，这是由于低信噪比下信道色散系数有限项的近似值总是大于实际值，会导致用户速率降低^[22]，但随着信噪比增加，本文所得ZF接收机渐近等价表达式与蒙特卡罗仿真结果接近，从而验证了理论表达式的准确性。由图 1可以看出：随着信噪比$ \rho $的增大，MF接收机和ZF接收机的用户速率R均在增加。在低信噪比场景下，MF接收机在系统中的用户速率$ {R}^{\mathrm{M}\mathrm{F}} $高于ZF接收机的用户速率$ {R}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}} $，随着信噪比增加，上行系统中ZF接收机的数据速率逐渐高于MF接收机的数据速率。当信噪比$ \rho \to \mathrm{\infty } $时，匹配滤波上行系统的用户数据速率上升趋势变化缓慢且存在上限，此时$ \mathrm{l}\mathrm{b}(1+{\gamma }^{\mathrm{M}\mathrm{F}})\to \mathrm{l}\mathrm{b}{\gamma }^{\mathrm{M}\mathrm{F}} $，ZF接收机的用户数据速率逐渐上升，且$ \mathrm{l}\mathrm{b}(1+{\gamma }^{\mathrm{Z}\mathrm{F}})\to {\gamma }^{\mathrm{Z}\mathrm{F}} $。因此，在低信噪比场景下，MF接收机的数据速率高于ZF接收机，中高信噪比场景下MF接收机的数据速率存在上限，并且ZF接收机在有限块长下的多用户MIMO系统中可达数据速率更高。

在覆盖半径R_s分别设置为500 m的场景下，两种线性接收机在上行链路系统中的解码错误率随与系统信噪比的变化曲线如图 2所示，其中：用户数K=6；基站配置的天线数M=12。由图 2可以看出：在不同信噪比配置下，本文所得MF/ZF接收机的解码错误率渐近等价解析式与蒙特卡罗仿真结果十分接近，并且两种线性接收机在上行系统中的用户解码错误率均会随着信噪比$ \rho $的增大而降低。

在低信噪比场景下，噪声为系统性能的主要影响因素，此时$ {\varepsilon }^{\mathrm{M}\mathrm{F}} < {\varepsilon }^{\mathrm{Z}\mathrm{F}} $。随着信噪比增加，系统性能受到用户干扰的限制。由式（4）可知，$ \rho \sum\limits_{i=1, i\ne k}^{K}{\left|{\boldsymbol{g}}_{k}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{g}}_{i}\right|}^{2} $增大，MF接收机的解码错误率$ {\varepsilon }^{\mathrm{M}\mathrm{F}} $下降趋势变缓且存在界限。由式（6）可知，ZF接收机将接收信号中的用户干扰强制置零，当信噪比$ \rho \to \mathrm{\infty } $时，$ {\varepsilon }^{\mathrm{Z}\mathrm{F}} $下降趋势加快，且$ {\varepsilon }^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}\ll {\varepsilon }^{\mathrm{M}\mathrm{F}} $。由图 2可知，MF接收机在上行系统中解码错误率的下限与系统中配置的用户数K和基站天线数M的比值有关，当$ \frac{M}{K}=2 $，且$ \rho \ge 30 $ dB时，多用户MIMO匹配滤波系统中的解码错误率存在下限，即$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}=3.94\times {10}^{-4} $。

由仿真结果可知：在高信噪比场景下，上行系统中ZF接收机解码错误率低于$ {10}^{-5} $且接近于零；在低信噪比场景下，MF接收机可靠性更高；在中高信噪比场景下，接收机可靠性受到用户干扰的限制，相较于MF接收机，ZF接收机在多用户MIMO上行系统中表现出更高的可靠性，更易满足URLLC业务的可靠性指标。

在不同用户数K和基站天线数M的配置下，两种线性接收机在多用户MIMO上行链路系统中的解码错误率随信噪比的变化曲线如图 3所示，其中覆盖范围设置为R_s=400 m。由图 3可知：MF接收机在多用户MIMO上行系统中易受到系统配置$ \frac{M}{K} $的影响，$ \frac{M}{K} $越大，解码错误率越低，接收机表现出的可靠性越高。当$ \frac{M}{K}=2 $时，MF接收机的解码错误率收敛于$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{M}\mathrm{F}}=3.94\times {10}^{-4} > {10}^{-5} $，但随着$ \frac{M}{K} $的增大，$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{M}\mathrm{F}} $逐渐降低且可低于$ {10}^{-5} $。

同时由图 3可知：上行系统中ZF接收机的可靠性与系统配置$ \frac{M}{K} $相关性弱，当$ \frac{M}{K}=2 $，且信噪比$ \rho =23.8 $ dB时，ZF接收机的解码错误率$ {\widehat{\varepsilon }}^{\mathrm{Z}\mathrm{F}}=3.53\times {10}^{-6}\le {10}^{-5} $。由此可知，在低信噪比场景下，两种接收机可靠性难以符合要求，但MF接收机解码错误率低于ZF接收机。在中高信噪比场景下，两种接收机可靠性均可达到要求，且相比于MF接收机，ZF接收机的可靠性不易受到系统配置$ \frac{M}{K} $的限制，更易满足URLLC的可靠性指标。

5 结束语

本文针对面向URLLC业务的多用户MIMO上行系统，基于渐近等价分析方法推导高低信噪比场景下匹配滤波接收机和迫零接收机解码错误率的解析表达式，并分析两者的性能差异。仿真结果表明：在低信噪比场景下，两种接收机的可靠性难以达到URLLC通信系统要求；在中高信噪比场景下，两种接收机均能在一定条件下满足URLLC业务的可靠性指标且迫零接收机性能更优。下一步将研究如何高效地配置系统无线资源以提升5G URLLC系统性能，联合优化无线资源和线性接收机在URLLC多用户MIMO系统中的合理配置。