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0 概述

随着5G移动通信、毫米波、MIMO技术的发展，人们对于信号高效率传输的需求日益增加，且无线移动通信的应用场景越来越复杂，因此，如何在信号准确传输的同时更加高效地利用有限的频谱资源成为近年来的研究热点。正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)因为其频谱利用率高、抗频率选择性衰落能力强等优点，成为当前以及未来移动通信的关键技术之一。在OFDM系统中，信号的传输过程受到无线信道环境衰落和延时等影响，导致产生符号间干扰(Inter Symbol Interference，ISI)。为了有效降低ISI并提高信号传输的准确率，需要对信道状态信息(Channel State Information，CSI)进行估计。

学者们对OFDM系统的信道估计进行了大量研究。传统的信道估计方法主要基于导频序列进行估计，过程中需要利用大量导频，导致系统的频谱利用率较低^[1]。压缩感知(Compressed Sensing，CS)理论^[2]通过信号的稀疏特性，可以利用较少的观测特征来有效地恢复出初始信号。同时，由于无线信道具有稀疏性^[3]，将其与压缩感知理论相结合，可以在导频信息较少的条件下提高频谱利用率。

信号重构是压缩感知理论的重要部分，其能够将信号的低维特征恢复到高维^[4-5]。文献[6]提出的凸优化重构算法将信号重构问题转化为优化问题，所需采样值较少，但是存在复杂度高、难以在实际中进行应用的问题。文献[7]提出的组合重构算法将信号采样进行快速重构，但是其存在实际系统受限和重构精确度低的问题。在实际应用中，贪婪迭代类算法得到广泛应用，该类算法相较于文献[6-7]算法计算复杂度较低，且结构简单，易于实现。根据不同的信号稀疏度条件，贪婪迭代类算法可分为基于信号稀疏度预知情况和基于信号稀疏度未知情况两种：基于预知信号稀疏度的重构算法较为常见，如正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法^[8]、压缩采样匹配追踪(Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP)算法^[9]、子空间追踪(Subspace Pursuit，SP)算法^[10]等；基于未知信号稀疏度的重构算法的典型代表是稀疏度自适应匹配追踪(Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP)算法^[11]。

目前，已有很多研究人员^[12-14]对基于上述算法的信道估计应用进行了分析。文献[15]通过分级方式逐步增加重构原子的个数，并通过回归追踪对原子进行筛选，但其仍需要信道的稀疏度先验信息，且对于分级步长要求较高。文献[16-17]提出利用幂函数控制SAMP算法迭代步长的自适应稀疏信道估计方法WSStAMP，但该方法在低信噪比时受噪声影响较大，估计精度较低。

上述算法在信道估计中存在寻径估计过度或估计错误的问题。同时，考虑到实际通信模型主要基于均匀导频(如3GPP、5G广播等)，现有压缩感知信道估计研究主要是基于非均匀导频，因此，对压缩感知信道估计进行改进，使其适用于基于均匀导频的实际通信环境具有重要意义。本文提出一种基于离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)寻径的OMP信道估计方法。利用DFT寻径来抑制由噪声导致的不理想原子，以对OMP算法重构过程中的原子进行筛选，解决传统重构算法在信道估计中存在的选径多估和错估问题。在此基础上，引入一种残差变化控制方法对信道稀疏度进行自适应估计。

1 系统模型 1.1 压缩感知

根据CS理论可知，若信号本身具有稀疏性或在某个变换基下具有稀疏性，以少量的观测值就能有效恢复原始信号^[1]。

设信号$ x $是$ N $维的离散时间信号，该信号通过一个$ N\times N $变换基矩阵和一个稀疏向量相乘获得，则信号$ x $可表示为：

$ x = \sum\limits_{i = 1}^N {{s_i}} {\psi _i} = \mathit{\boldsymbol{s \boldsymbol{\varPsi} }} $

(1)

其中：$ \mathit{\boldsymbol{s}} $为加权系数向量；$ {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}}^{N\times N} $为变换基矩阵。若向量$ \mathit{\boldsymbol{s}} $中非0元素个数为$ K $，且满足$ K\ll N $，则称信号$ x $在$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }} $域内是稀疏的，稀疏度为$ K $。

为了实现信号降维，即将N维信号减少到M维(M小于N)，需要一个$ M\times N $的测量矩阵对原信号进行降维操作，从而获得包含信号$ x $大部分信息的测量向量$ \mathit{\boldsymbol{y}} $：

$ \mathit{\boldsymbol{y}}=\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}x+n=\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}\cdot \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}\mathit{\boldsymbol{s}}+n=\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }}\mathit{\boldsymbol{s}}+n $

(2)

其中：$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }} $为$ M\times N $维的测量矩阵。因为信号$ x $在$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }} $域内是稀疏的，所以测量矩阵$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }} $和变换基矩阵$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }} $相乘可以得到$ M\times N $维矩阵$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }} $，其称为恢复矩阵。因为需要根据已知的测量值和恢复矩阵信息恢复原信号，所以恢复矩阵需要满足等距约束性(Restricted Isometry Property，RIP)，如下：

$ (1-{\delta }_{K}){‖\mathit{\boldsymbol{s}}‖}_{2}^{2}\le {‖\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}\mathit{\boldsymbol{s}}‖}_{2}^{2}\le (1+{\delta }_{K}){‖\mathit{\boldsymbol{s}}‖}_{2}^{2} $

(3)

矩阵$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }} $满足K阶RIP特性，即可从s中恢复原信号。其中，$ {‖\cdot ‖}_{2}^{2} $表示$ \mathrm{L}2 $范数。为对式(1)进行求解，研究人员提出了多种信号重构算法^[18-20]。

1.2 OFDM稀疏信道模型

假设OFDM系统的子载波数目为$ N $。在发送端，输入的比特流经过编码、调制、子载波映射、导频插入等操作后得到频域发送信号$ X\left(k\right) $，$ k=\mathrm{0, 1}, \cdots , $ $ N-1 $。令导频个数为$ P $，信道长度为$ L $，则接收信号可表示为：

$ \mathit{\boldsymbol{y}}=\mathit{\boldsymbol{X}}\mathit{\boldsymbol{H}}+n=\mathit{\boldsymbol{X}}\mathit{\boldsymbol{W}}h+n $

(4)

其中：$ \mathit{\boldsymbol{X}} $表示主对角线为$ X\left(k\right) $($ k=\mathrm{0, 1}, \cdots , N-1 $)的对角矩阵；$ \mathit{\boldsymbol{y}}=\left[y\right(0), y(1)，\cdot \cdot \cdot , y{(N-1)]}^{\mathrm{T}} $为接收信号；$ \mathit{\boldsymbol{H}}=\left[H\right(0), H(1), \cdot \cdot \cdot , H{(N-1)]}^{\mathrm{T}} $为信道频域响应采样；$ n $为复加性高斯白噪声；$ \mathit{\boldsymbol{W}} $为$ N\times N $维傅里叶变换矩阵的前$ L $列。W表示如下：

$ \mathit{\boldsymbol{W}}=\frac{1}{{\sqrt N }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w^{00}}}&{{w^{10}}}& \cdots &{{w^{(L - 1)0}}}\\ {{w^{01}}}&{{w^{11}}}& \cdots &{{w^{(L - 1)1}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{w^{0(N - 1)}}}&{{w^{1(N - 1)}}}& \cdots &{{w^{(L - 1)(N - 1)}}} \end{array}} \right) $

(5)

其中：$ {w}^{nl}={\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{j}2\mathrm{\pi }nl}{N}} $。接收到的导频信号为：

$ {\mathit{\boldsymbol{y}}}_{P}={\mathit{\boldsymbol{X}}}_{P}{\mathit{\boldsymbol{W}}}_{P}\mathit{\boldsymbol{h}}+{n}_{P}=\mathit{\boldsymbol{T}}\mathit{\boldsymbol{h}}+{n}_{P} $

(6)

其中：$ {\mathit{\boldsymbol{X}}}_{\bf{P}} $为从$ N $个子载波位置中选择出的$ P $个导频位置，令$ \mathit{\boldsymbol{S}} $为$ N $维单位矩阵中选择出的与导频位置对应的$ P $行，则$ {\mathit{\boldsymbol{X}}}_{P}=\mathit{\boldsymbol{S}}\mathit{\boldsymbol{X}}{\mathit{\boldsymbol{S}}}^{\mathrm{T}} $，$ {\mathit{\boldsymbol{W}}}_{P}=\mathit{\boldsymbol{S}}\mathit{\boldsymbol{W}} $。从$ {\mathit{\boldsymbol{y}}}_{P} $、$ {\mathit{\boldsymbol{X}}}_{\bf{P}} $、$ {\mathit{\boldsymbol{W}}}_{P} $中估计$ \mathit{\boldsymbol{h}} $为稀疏信号重构问题，同时，在小间隔均匀导频条件下恢复矩阵满足等距约束性，不同导频间隔下测量矩阵的相关性如图 1所示。

2 基于DFT寻径的压缩感知信道估计 2.1 传统DFT信道估计算法

传统的DFT信道估计算法主要是基于LS信道估计、时频域变换、降噪处理等信号处理过程来提高信道估计的性能。传统的DFT信道估计算法步骤如下：

步骤1  通过LS估计得到导频位置的CFR：

$ {\stackrel{\wedge }{H}}_{p}\left(k\right)=\frac{{Y}_{p}\left(k\right)}{{X}_{p}\left(k\right)}={H}_{p}\left(k\right)+\frac{{W}_{p}\left(k\right)}{{X}_{p}\left(k\right)} $

(7)

其中：$ {Y}_{p}\left(k\right) $表示第p个子载波上的接收导频信号；$ {X}_{p}\left(k\right) $表示第p个子载波上的发送导频信号；$ {W}_{p}\left(k\right) $表示第p个子载波上的频域噪声信号。

步骤2  对LS估计得到的导频CFR进行N点IDFT变换到时域，得到时域CIR：

$ {\stackrel{\wedge }{h}}_{p}\left(n\right)=\mathrm{I}\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left\{{\stackrel{\wedge }{H}}_{p}\right(k\left)\right\}={h}_{p}\left(k\right)+{w}_{p}\left(k\right) $

(8)

由于CIR的长度小于CP的长度，因此对CIR仅保留前循环前缀长度的采样点，将其余部分视为噪声并置零，最后将其补零至N点，即：

$ \stackrel{\wedge }{h}\left(n\right)=\left\{\begin{array}{l}\stackrel{\wedge }{{h}_{p}}\left(n\right), 0\le n\le {N}_{\mathrm{C}\mathrm{P}}-1\\ 0, {N}_{\mathrm{C}\mathrm{P}}\le n\le N-1\end{array}\right. $

(9)

其中：$ {N}_{\mathrm{C}\mathrm{P}} $表示CP的长度；N表示子载波总数。

步骤3  利用时域补零等效于频域内插信号处理的原理，获得全部N个子载波的CFR：

$ \stackrel{\wedge } H\left( k \right) = {\rm{IDFT}}\{ \stackrel{\wedge } h(n)\} $

(10)

2.2 基于阈值降噪的DFT信道寻径算法

传统的信道估计算法将循环前缀长度以外的噪声置零，从而消除噪声。但是，由于循环前缀内仍然含有噪声，因此基于DFT的信道估计算法的性能仍有待提升。本文提出一种基于阈值降噪的DFT信道寻径算法，以处理循环前缀内的噪声。算法流程如图 2所示。

基于阈值降噪的DFT信道寻径算法步骤为：首先，对LS估计得到的信道频域响应通过傅里叶反变换为时域响应；然后，提取循环前缀以外的样本能量均值以及循环前缀以内的样本能量均值，通过自定义加权系数来获得最终的阈值；最后，对于循环前缀以内的样本，将大于阈值的样本保留，小于阈值的样本置零，同时令循环前缀以外的样本置零。

DFT信道寻径算法阈值的计算方法如下：

1) 对循环前缀以外的噪声求均值：

$ {t}_{1}=\frac{1}{{N}_{p}-{N}_{\mathrm{C}\mathrm{P}}}\sum\limits _{{N}_{\mathrm{C}\mathrm{P}}}^{{N}_{p}-1}\left|\stackrel{\wedge }{{h}_{p}}\left(n\right)\right|\text{，}{N}_{\mathrm{C}\mathrm{P}}\le n\le {N}_{p}-1 $

(11)

2) 求得循环前缀以内的样本能量的均值：

$ {t}_{2}=\frac{1}{{N}_{\mathrm{C}\mathrm{P}}}\sum\limits _{0}^{{N}_{CP}-1}{\left|\stackrel{\wedge }{{h}_{p}}\left(n\right)\right|}^{}\text{，}0\le n\le {N}_{CP}-1 $

(12)

3) 通过加权系数$ a $来确定阈值的取值：

$ t={t}_{1}+a{t}_{2} $

(13)

对由LS估计得到的CIR，有：

$ {P_{{\rm{pre}}\_{\rm{set}}}} = \left| {{{\stackrel{\wedge } h}_p}\left( n \right)} \right| \ge t,0 \le n \le {N_p} - 1 $

(14)

通过提取阈值降噪后的$ \stackrel{\wedge }{h}\left(n\right) $非零径的位置并设为验证集合，从而为下文基于DFT寻径的压缩感知信道估计提供原子预选。基于阈值降噪的DFT信道寻径算法对循环前缀以内的噪声进行降噪处理，能够抑制DFT信道估计中的部分无用噪声对信道估计精度的影响，提高对信道非零径位置估计的准确性。其中，加权系数$ a $的取值与导频个数有关，为保持一致性，本文设置加权系数$ a=0.2 $。

2.3 基于DFT寻径的OMP信道估计

基于DFT寻径的OMP(DFT-OMP)信道估计算法的原理为：将基于阈值降噪的DFT信道寻径算法作为先验，对传统OMP重构算法的处理流程进行优化，将信道冲击响应中的非零径区域作为OMP重构算法中的原子预选并进行优化，从而提高重构性能。算法流程如图 3所示，其中，虚线箭头为没有交集情况下的流程。

DFT-OMP信道估计算法步骤如下：

输入  信号$ y $，恢复矩阵$ \mathit{\boldsymbol{T}} $，迭代次数$ m $，信道径预选集$ P $

输出  信号估计值

初始化  残差矢量$ {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{n}=y $，增量矩阵$ \mathit{\boldsymbol{A}} $，时延矢量$ {\mathit{\boldsymbol{\tau }}}_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{p}} $，估计信道$ \stackrel{\wedge }{h} $，迭代变量$ t $

步骤1  更新迭代变量$ t=t+1 $，计算恢复矩阵的列向量和残差的投影系数内积值，$ p=\left|{\mathit{\boldsymbol{T}}}^{\mathrm{H}}{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{n}\right| $。

步骤2  在信道径预选集合$ P $中选择最大投影位置$ {P}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{p\right\} $，并将对应位置的恢复矩阵列放入增量矩阵中，$ \mathit{\boldsymbol{A}}=\left[\mathit{\boldsymbol{A}}\mathit{\boldsymbol{T}}(:, {P}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}})\right] $，并对恢复矩阵已投影矢量置零。

步骤3  最小二乘估计$ \stackrel{\wedge }{{h}_{t}}=({\mathit{\boldsymbol{A}}}^{\mathrm{H}}{\mathit{\boldsymbol{A}})}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{A}}}^{\mathrm{H}}y $。

步骤4  更新残差矢量$ {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{n}=y-\mathit{\boldsymbol{A}}\stackrel{\wedge }{{h}_{t}} $，更新延迟矢量$ {\mathit{\boldsymbol{\tau }}}_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{p}}=\left[{\mathit{\boldsymbol{\tau }}}_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{p}}{P}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}}\right] $。

步骤5  若迭代变量$ t $小于预设迭代次数，或者残差变化大于设定精度$ \epsilon $，则返回步骤2；否则，退出迭代。

残差变化精度$ \epsilon $的计算公式如下：

$ \epsilon =\frac{\left|{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{n-1}-{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{n}\right|}{\left|{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{n}\right|} $

(15)

其中：$ {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{n-1} $和$ {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{n} $分别表示上一次的残差与更新残差。为了更好地控制残差变化精度，$ \epsilon $的取值范围为$ 0.01\le \epsilon \le 0.1 $。

传统OMP算法在原子预选阶段选取内积最大的原子作为重构原子，如果在预选过程中出现错误原子，则会降低算法的重构精度，影响重构效率。为了提高重构精度，本文所提算法在原子预选后，通过引入由基于阈值降噪的DFT信道寻径得到的信道预选先验集来控制原子选择范围，可保证在一定先验条件下，所选择原子与重构原子具有较大的相关性，即预选原子更适用于重构。同时，通过比较上一个残差和当前残差的幅值变化程度来控制重构估计的信道路径个数，从而提高信道估计的精度。

3 仿真结果与分析

本文利用MATLAB软件对算法进行仿真及性能评估，实验参数设置如表 1所示。

本文利用均方误差(Mean Square Error，MSE)验证DFT-OMP算法的信道估计效果。均方误差定义如下：

$ {M_{{\rm{MSE}}}} = \frac{{E\left[ {\sum\limits_t {{{\left| {h\left( t \right) - \mathop h\limits^ \wedge \left( t \right)} \right|}^2}} } \right]}}{{E\left[ {\sum\limits_t {{{\left| {h\left( t \right)} \right|}^2}} } \right]}}$

(16)

3.1 均方误差性能比较

在导频间隔为10时，DFT算法、OMP算法、SAMP算法、WSStAMP^[18]算法、本文DFT-OMP算法的信道估计均方误差结果如图 4所示，为保持一致性，OMP算法和DFT-OMP算法的迭代次数均为8。从图 4可以看出：在相同信噪比条件下，DFT-OMP算法的MSE性能均优于对比算法；WSStAMP算法在SAMP算法的基础上调整迭代时步长的收敛，具有更好的估计性能，但是WSStAMP算法在低信噪比下易受噪声影响，DFT-OMP算法相较于WSStAMP算法约有0.5 dB的性能增益。

3.2 导频个数对算法性能的影响

图 5所示为DFT-OMP算法与传统OMP算法的均方误差性能对比。从图 5可以看出：在相同导频条件下，DFT-OMP算法的MSE性能明显优于OMP算法；在不同导频间隔下，随着导频间隔$ P $的增大，算法的估计性能逐渐降低，当导频间隔为12时，DFT-OMP算法在低信噪比时有更好的估计性能，相对OMP约有4 dB的性能增益，高信噪比时MSE变化平缓，总体上仍优于OMP算法，这是由于DFT-OMP算法通过DFT寻径对原子进行预选，在重构时减少噪声对重构原子选取的影响，同时利用残差变化对OMP算法的迭代次数进行控制，保证算法迭代具有自适应性和鲁棒性。

3.3 迭代次数对算法性能的影响

在实际应用中，过多的迭代会带来信道估计的冗余，从而影响信道估计性能。图 6所示为DFT-OMP算法与OMP算法在不同迭代次数下的性能对比。从图 6可以看出：OMP算法依赖于信号稀疏度的先验信息，随着迭代次数的增加，算法估计性能降低；随着迭代次数的增加，DFT-OMP算法的估计性能明显优于OMP算法，原因是DFT-OMP信道估计算法引入残差变化控制，避免引入无关重构原子，保证在较大的迭代次数下也能较好地进行信道估计；DFT-OMP算法在较高信噪比时逼近理想径(已知径位置)下的信道估计性能。

3.4 阈值对算法性能的影响

在SNR为28 dB时，不同阈值下DFT-OMP算法的MSE性能如图 7所示。从图 7可以看出：阈值选取对算法性能有一定影响，且在不同导频间隔下，性能变化基本保持一致；当阈值选取较大时，去除的原子中可能存在重构所需的原子，从而导致估计性能下降；当阈值较小时($ \alpha < 0.2 $)，噪声原子可能影响重构原子的选取，从而影响估计性能；当阈值设置为0.2时算法能取得较好的估计性能。

表 2所示为4种算法在不同导频间隔下的运算时间比较，仿真硬件参数为Intel i7-4710HQ，CPU为2.50 GHz，RAM为4.00 GB，Microsoft Windows 10操作系统。从表 2可以看出：DFT-OMP算法在计算复杂度上较OMP算法有少量提升；SAMP算法相较于OMP算法复杂度明显提高；WSStAMP算法通过幂函数来选取步长，降低了SAMP算法的复杂度，但仍高于DFT-OMP算法。结合图 4~图 6以及表 2可以看出，DFT-OMP算法在牺牲少量运算时间的条件下可以有效提高信道估计性能。

4 结束语

针对传统均匀导频条件下压缩感知信道估计精度较低的问题，本文提出一种在均匀导频下基于DFT寻径的OMP信道估计算法。在传统OMP算法的基础上设计一种寻径先验方法，以对算法中的原子进行预选，通过基于阈值DFT寻径的方式来抑制由噪声导致的不理想原子，从而实现原子优化。同时，引入控制残差变化精度的方法约束算法迭代，在提高信道估计性能的同时提升算法的自适应性与鲁棒性。仿真结果表明，相较OMP算法，该算法在较大均匀导频的条件下具有更好的估计性能和更低的算法复杂度。后续将运用该算法解决实际通信系统中由虚拟子载波引起的频谱泄露问题，进一步提升算法的估计性能。