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0 概述

在无线通信技术中，信道是传输信息的关键媒介，信道的优劣决定无线通信系统能否正常工作。电磁波在传输过程中，反射、折射、衍射等通过的各个路径的距离不同，因此，各个路径电波到达接收机时信号并不是单一路径的，而是许多路径的信号叠加，这种现象称为多径效应^[1]。同时，在信号传输过程中，由多普勒效应造成的接收信号频率和发射信号频率之差称为多普勒频移。多径效应和多普勒频移所引起的小尺度衰落是信道传输研究的重点。在通信发展史上，国内外学者们针对信道的小尺度衰落进行了大量研究，提出了多种适应不同场合的信道模型，如Constant模型^[2]、瑞利（Rayleigh）信道模型^[3]、莱斯（Rice）信道模型^[4]、Nakagami模型^[5]、Lognormal模型^[6]、Suzuki模型等^[7]。

二十世纪六十年代，日本著名学者NAKAGAMI提出一种由现场测试和曲线拟合方法得到的分布用于描述信道，称为Nakagami模型^[8]。通过不同的衰落因子m，Nakagami模型可以仿真不同的信道衰落环境，并且数据与实际测量值吻合度较高，说明Nakagami分布的衰落信道模型非常适合描述快衰落信道，并且与描述该类信道的其他模型相比具有较好的性能，因此，Nakagami模型在信道仿真领域中得到广泛应用。

近年来，国内外学者们针对无线信道的包络特性、相关特性、误码率^[9]等方面做了大量的研究，但对于无线信道的可信性评估却很少涉及，传统的对于无线信道不同建模方法的可信性评估仅仅在于对理论与实际图像的简单对比，缺少科学的比对验证方法。文献[10]提出一种基于K-S检验的瑞利信道统计特性评估算法。文献[11]提出一种基于卡方检验的莱斯信道统计特性评估算法。文献[12]提出一种基于Z检验和卡方检验的融合算法。文献[13]提出一种针对瑞利信道模型的综合验证方法。上述文献中都是针对传统的瑞利衰落信道或者莱斯衰落信道，没有涉及对实用性更强的Nakagami衰落信道统计特性检验方法的研究。

典型Nakagami信道的一阶包络序列服从Nakagami分布^[14]。本文基于这一信道统计特性，针对Nakagami信道模型的可信性评估问题提出一种新的检测算法，以准确判断Nakagami信道模型是否可用。根据Nakagami衰落信道建模方法建立Nakagami衰落信道模型，并进行参数提取，得到具备一阶统计特性的包络序列，进而做出相关计算得到包络序列的经验累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）与理论累积分布函数曲线，获得非参数检验结果。

1 信道模型

Nakagami衰落信道仿真模型实现的方法主要通过逆变换法、Brute Force法^[15]、舍弃法^[16-17]、组合法^[18-20]等实现，而组合法模型由于其实现简单，仿真速度快、应用灵活等优点，被广泛应用于信道仿真领域。本文选择使用文献[19]提出的改进型组合法进行Nakagami信道模型仿真，此方法在文献[18]提出的“高斯+瑞利”组合法的基础上做出了进一步改进，使之成为“高斯+瑞利+直流”组合。该模型可以较好地仿真出包含高斯、莱斯、瑞利3种分量信号，从而实现Nakagami的信道仿真，其基本原理如式（1）所示：

$ \begin{array}{l}{R}_{\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{k}}\left(t\right)=a\left|g\right(t\left)\right|+br\left(t\right)+c=\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\left|{g}_{1}\right(t\left)\right|+b\sqrt{{g}_{2}^{2}\left(t\right)+{g}_{3}^{2}\left(t\right)}+c\end{array} $

(1)

其中：$ g\left(t\right) $是高斯白噪声序列；$ r\left(t\right) $是瑞利随机变量；$ {g}_{1}\left(t\right) $、$ {g}_{2}\left(t\right) $、$ {g}_{3}\left(t\right) $是独立的高斯序列；$ c $属于直流分量，且a、b、c是与衰落平均功率$ \mathit{\Omega }$和衰落因子m有关的待定系数。a、b、c的值^[18]可通过解1、2、4阶矩方程组得到，结果如式（2）所示：

$ \begin{array}{l}a=\left\{\begin{array}{l}0, m\ge 1\\ 1.458{\mathrm{e}}^{-0.{777}\ 7m}, 0.5 < m < 1\\ 1, m=0.5\end{array}\right.\\ b=\left\{\begin{array}{l}10.{678}\ 4{\mathrm{e}}^{-0.{857}\ 7m}+0.437{\mathrm{e}}^{-0.{065}\ 14m}, m > 1\\ \sqrt{0.5}, m=1\\ 0.{118}\ 5{\mathrm{e}}^{0.{955}\ 3m}-1.502{\mathrm{e}}^{-4.129m}, 0.5 < m < 1\\ 0, m=0.5\end{array}\right.\\ c=\left\{\begin{array}{l}0.{496}\ 5{\mathrm{e}}^{0.{035}\ 27m}-1.077{\mathrm{e}}^{-0.782m}, m > 1\\ \mathrm{0, 0.5}\le m\le 1\end{array}\right.\end{array} $

(2)

通过建立上述信道模型，可以有效地得到Nakagami衰落信道的包络信息，相较于传统的信道模型，能够更准确地对Nakagami信道的统计性特性进行数值评估。

本文方法仿真得到的Nakagami信道时域结果如图 1所示，可见其可仿真任意参数$ m $和$ \mathit{\Omega }$下的Nakagami信道，具有很好的精准性和适用性。

2 检验方法

可以用拟合优度检验的方法^[21-23]验证一个未知具体分布的随机样本。首先零假设一个已知的理论分布函数$ {F}^{\mathrm{*}}\left(x\right) $，然后通过某种比较方式将随机样本的经验分布函数$ F\left(x\right) $的随机样本$ {x}_{1}, {x}_{2}, \cdots, {x}_{n} $与$ {F}^{\mathrm{*}}\left(x\right) $进行拟合优度检验，进而判断拒绝还是接受零假设。拟合优度检验问题可以简述为：

$ \left\{\begin{array}{l}{H}_{0}:F\left(x\right)={F}^{\mathrm{*}}\left(x\right)\\ {H}_{1}:F\left(x\right)\ne {F}^{\mathrm{*}}\left(x\right)\end{array}\right. $

(3)

其中：$ {H}_{0} $是零假设，表示理论分布函数和经验分布函数为相同分布；$ {H}_{1} $是备选假设，表示理论分布函数和经验分布函数为不相同分布。

上述理论分布函数是已知的，设定经验分布函数为：

$ F\left(x\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}1\{{x}_{i} < x\} $

(4)

其中：$ 1\left\{·\right\} $为示性函数，即如果$ {x}_{i} < x $，则$ 1\left\{·\right\}=1 $，否则$ 1\left\{·\right\}=0 $。

拟合优度检验通过计算所接收信号的经验分布和理论分布之间的距离，再与特定的门限比较来判断是否接受零假设，Cramer-von Mises（CvM）检验就是上述拟合优度检验方法中的一种。

2.1 CvM算法

CvM检验是基于分布间平方距离构造检验统计量的一类拟合优度检验，通常被用于检验一组数据与另外一组数据是否具有相同分布，是一种非参数检验方法。CvM检验统计量^[24]定义如下：

$ {W}_{{n}_{1}}^{2}={n}_{1}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left[F\left(x\right)-{F}^{\mathrm{*}}\left(x\right)\right]}^{2}{\rm{d}}{F}^{*}\left(x\right) $

(5)

由于Nakagami信道的包络与相位分布具有统计特性，因此基于拟合优度的CvM检验可以作为Nakagami信道的包络与相位分布的评判依据，且CvM检验的统计量是基于分布间的平方距离再积分^[25]的，相较于KS检验只考虑一个最大点，CvM检验考虑到了所有的差异点，在理论上更为严谨，得到的结果更加准确。

CvM检验除了单样本检验（One-sample Test）以外，还包括双样本检验（Two-sample Test），本文即使用双样本的CvM检验，相应的检验统计量如式（6）所示：

$ \begin{array}{l}{W}_{{n}_{1}, {n}_{2}}^{2}=\frac{{n}_{1}{n}_{2}}{{\left({n}_{1}+{n}_{2}\right)}^{2}}\left\{\sum\limits_{\begin{array}{c}x={x}_{i}\\ x={y}_{j}\end{array}}{\left[{F}_{{n}_{1}}\left(x\right)-{G}_{{n}_{2}}\left(x\right)\right]}^{2}\right\}=\\ \ \ \ \frac{{n}_{1}{n}_{2}}{{\left({n}_{1}+{n}_{2}\right)}^{2}}\left\{\begin{array}{l}\sum\limits_{i=1}^{{n}_{1}}{\left[{F}_{{n}_{1}}\left({x}_{i}\right)-{G}_{{n}_{2}}\left({x}_{i}\right)\right]}^{2}+\\ \sum\limits_{j=1}^{{n}_{2}}{\left[{F}_{{n}_{1}}\left({y}_{j}\right)-{G}_{{n}_{2}}\left({y}_{j}\right)\right]}^{2}\end{array}\right\}\end{array} $

(6)

文献[26]对CvM统计量进行简化，将观测值从小到大排序$ ({x}_{1}\le {x}_{2}\le \cdot \cdot \cdot \le {x}_{n}), {u}_{j}={F}^{\mathrm{*}}\left({x}_{j}\right) $，得到更为方便观测的计算式，如式（7）所示：

$ {W}_{{n}_{1}}^{2}=\sum\limits_{j=1}^{{n}_{1}}{\left({u}_{j}-\frac{2j-1}{2{n}_{1}}\right)}^{2}+\frac{1}{12{n}_{1}} $

(7)

相应的双样本统计量为：

$ {W}_{{n}_{1}, {n}_{2}}^{2}=\frac{{n}_{1}{n}_{2}}{{\left({n}_{1}+{n}_{2}\right)}^{2}}\left\{\begin{array}{l}\sum\limits_{i=1}^{{n}_{1}}{\left(\frac{i}{{n}_{1}}-\frac{{r}_{i}-i}{{n}_{2}}\right)}^{2}+\\ \sum\limits_{j=1}^{{n}_{2}}{\left(\frac{{s}_{j}-j}{{n}_{1}}-\frac{j}{{n}_{2}}\right)}^{2}\end{array}\right\} $

(8)

其中：$ {r}_{i} $和$ {s}_{j} $分别为统计量$ {x}_{i} $和$ {y}_{j} $在整个样本池中的顺序排列号。

CvM算法的具体检验步骤如下：在虚警概率α下，通过比较检验统计量$ {W}_{{n}_{1}, {n}_{2}}^{2} $和门限值$ \delta $，选择接受或者拒绝零假设$ {H}_{0} $。CvM检验中的门限值$ \delta $可通过以下检验统计量$ {W}_{{n}_{1}, {n}_{2}}^{2} $与虚警概率$ \alpha $的关系获得：

$ {P}_{r}\left\{{W}_{{n}_{1}, {n}_{2}}^{2}\le \delta \left|{H}_{0}\right.\right\}=\alpha $

(9)

若$ {W}_{{n}_{1}, {n}_{2}}^{2}\le \delta $，则判断为H₀，理论分布函数和经验分布函数为相同分布；若$ {W}_{{n}_{1}, {n}_{2}}^{2} > \delta $，则判断为$ {H}_{1} $，理论分布函数和经验分布函数为不相同分布。CvM算法检验流程如图 2所示。

2.2 基于CvM算法的包络序列检验

Nakagami分布相应的包络和相位的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）分别为：

$ p\left(r\right)=\frac{2}{\mathit{\Gamma } \left(m\right)}{\left(\frac{m}{\mathit{\Omega }}\right)}^{m}{r}^{2m-1}{\mathrm{e}}^{-\frac{m}{\mathit{\Omega }}{r}^{2}}, r\ge 0 $

(10)

$ p\left(\varphi \right)=\frac{\mathit{\Gamma } \left(m\right){\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\varphi \right|}^{m-1}}{{2}^{m}{\mathit{\Gamma } }^{2}\left(\frac{m}{2}\right)}, \varphi \in \left[\mathrm{0, 2}{\rm{ \mathsf{ π} }}\right) $

(11)

其中：$ \mathit{\Gamma } \left(m\right) $为Gamma函数，$ \mathit{\Gamma } \left(m\right)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{m-1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x $；$ \mathit{\Omega }$为二阶中心矩，且$ \mathit{\Omega }=E\left[{r}^{2}\right] $，表示的是多径散射的平均功率；m为衰落因子，表示的是由于多径效应和散射引起的信号衰减程度。m值越小，表示信道衰落程度越严重；m越大则表示莱斯分布的直视路径功率越大。当m=0.5时，Nakagami分布表现为单边高斯分布；当m=1时，Nakagami分布则表现为瑞利分布；当m > 1时，Nakagami分布则表现为莱斯分布；当m→∞时，Nakagami分布则可视为冲激函数，代表着此时信道无衰落。假设$ \mathit{\Omega }=1 $，不同m值下的Nakagami概率密度分布曲线如图 3所示。

根据统计学知识，对PDF积分即可得到相应参数下的Nakagami累积分布函数（CDF），如式（12）所示：

$ p(r\le x)={\int }_{0}^{x}\frac{2}{\mathit{\Gamma } \left(m\right)}{\left(\frac{m}{\mathit{\Omega }}\right)}^{{}^{{m}_{{r}^{2m-1}}}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{m}}{\mathit{\Omega }}{r}^{2}}\mathrm{d}x=\frac{\mathit{\Gamma } (m, \frac{m{x}^{2}}{\mathit{\Omega }})}{\mathit{\Gamma } \left(m\right)} $

(12)

综上，基于CvM的Nakagami信道包络检验的步骤如下：

步骤1  提出零假设$ {H}_{0} $：衰落信道的包络序列服从Nakagami分布。

步骤2  将CDF计算公式（式（4））与式（12）代入统计量公式（式（8）），求出相应的检验统计量$ {W}_{{n}_{1}, {n}_{2}}^{2} $。

步骤3  将$ {W}_{{n}_{1}, {n}_{2}}^{2} $和给定的虚警概率$ \alpha $代入式（9）获得门限值$ \delta $。

步骤4  对得到的检验统计量$ {W}_{{n}_{1}, {n}_{2}}^{2} $与门限值$ \delta $进行比较。

步骤5  接受或拒绝零假设。

设定样本个数为300 000，在CvM检验结果为接受零假设的情况下，基于m值分别为0.5、1、2的Nakagami信道，理论累积分布函数与经验累积分布函数之间的分布图如图 4所示。可以定性观测出，理论累积分布函数与经验累积分布函数之间的曲线无明显差异，与定量的数值检验结果保持一致。

3 仿真与实验结果

本文对Nakagami衰落信道模型进行一阶统计性检验。首先将信号发射源输入到信道仿真器中，然后将信道仿真器中的信道模型设置为上述的Nakagami模型，再对接收端口接收到的数据通过信号分析软件进行处理。半实物仿真平台搭建场景如图 5所示，通过该仿真平台得到Nakagami衰落信道的数据，进行频谱分析，得到的结果如图 6所示，其为不同m值下Nakagami衰落信道模型的频谱图形，从中可以初步观测出仿真数据符合Nakagami衰落信道模型的频谱。

根据上节所述的实验步骤，调整参数，对不同参数下的Nakagami信道各进行1 000次仿真。设定：N_A表示实际信道数据和理论信道数据检验结果是否相符合的次数；$ {P}_{A}={N}_{A}/N $表示识别概率，N表示仿真次数，A=1表示符合Nakagami信道模型，A=0表示不符合Nakagami信道模型，后续表格中的数值为相应$ {P}_{A} $的大小。

图 7所示为m=1情况下理论Nakagami衰落信道包络数据与其他10个仿真得到的Nakagami衰落信道包络数据箱线图的对比，可以看出，仿真值和理论值箱线图的中位数和上下四分位数差异很小，因此，可以初步得出理论值与仿真值很接近的结论。

3.1 CvM检验的统计性能验证

分别在m为0.5、1、1.5、2、3、5下，设置样本长度$ {N}_{\mathrm{d}}={300}\ 000 $，采样频率$ {f}_{\mathrm{s}}={20}\ \mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z} $，最大多普勒频移$ {f}_{\mathrm{m}}={500}\ \mathrm{H}\mathrm{z} $，$ \mathit{\Omega }=1 $，虚警概率$ \alpha \in \left\{\mathrm{0.05, 0.01, 0.005, 0.001}\right\} $进行实验，分析不同m下本文算法受到虚警概率的性能影响，结果如表 1所示，从中可以看出：当虚警概率小于等于0.01时，检验的准确率均高于92.6%；当虚警概率为0.05时，检验准确率相对较低，均低于93%，且在m为5时准确率为80.4%。因此，在用CvM算法进行Nakagami信道统计性参数检验时，可以根据需要选择适当的虚警概率进行检验。

分别在m为0.5、1、1.5、2、3、5下，设置虚警概率$ \alpha =0.01 $，采样频率$ {f}_{\mathrm{s}}={20}\ \mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z} $，最大多普勒频移$ {f}_{\mathrm{m}}={500}\ \mathrm{H}\mathrm{z} $，$ \mathit{\Omega }=1 $，样本长度$ {N}_{\mathrm{d}}=\{{300}\ 000, {400}\ 000, $ $ {600}\ 000, $$ {1}\ {200}\ 000\} $进行实验，分析不同m下本文算法受到样本长度的性能影响，结果如表 2所示，可以得出以下结论：样本长度基本上不会影响CvM算法对Nakagami信道统计性参数检验的准确率。

分别在m为0.5、1、1.5、2、3、5下，设置虚警概率$ \alpha =0.01 $，采样频率$ {f}_{\mathrm{s}}={20}\ \mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z} $，最大多普勒频移$ {f}_{\mathrm{m}}={500}\ \mathrm{H}\mathrm{z} $，$ \mathit{\Omega }=1 $，样本长度$ {N}_{\mathrm{d}}={300}\ 000 $，分别设置待检验信道为HalfNormal、Rayleigh、Rice、Poisson信道进行实验，验证不同m下本文算法的稳定性，结果如表 3所示，可以得出以下结论：在m分别为0.5、1而待检验信道为HalfNormal、Rayleigh信道的情况下，CvM检验的准确率分别为99.5%、93%；在m分别为1.5、2、3、5而待检验信道为Rice信道的情况下，CvM检验的准确率分别为95.4%、97.2%、99.1%、97.2%，其他情况下准确率均为0%。此结果表明本文的CvM算法对Nakagami信道统计性参数的检验具有较高的稳定性，对于不同信道的鉴别能力较好。

根据上述数据知，在不同m下，本文算法的识别准确率均符合预期效果：对虚警概率0.01以下识别准确率达到92.6%以上；对300 000以上不同的信道长度平均识别准确率达到96.4%；对待检验信道为其他信道时，误识别率为0%。

3.2 CvM检验的准确率与复杂度分析

本文选取K-S检验、Z检验+卡方融合检验、CvM检验和卡方检验4种检验算法对不同m下的Nakagami衰落信道的一阶幅值包络进行1 000次仿真实验，计算对应的识别准确率进行性能对比，计算每个算法对应的归一化仿真时间进行复杂度对比。

参数分别设置为虚警概率$ \alpha =0.01 $，采样频率$ {f}_{\mathrm{s}}={20}\ \mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z} $，最大多普勒频移$ {f}_{\mathrm{m}}={500}\ \mathrm{H}\mathrm{z} $，$ \mathit{\Omega }=1 $，样本长度$ {N}_{\mathrm{d}}={300}\ 000 $。不同检验算法下针对不同m的Nakagami衰落信道的识别准确率结果如图 8所示，可以看出：当m在0.5到1之间时，4种检验算法的准确率都相对较高，而在m大于1之后，准确率都有所下降，其中CvM检验的准确率最高，在不同的m下识别准确率均保持在92%以上。

不同检验算法的复杂度对比如图 9所示，可以看出：在不同m下，CvM检验的归一化仿真时间最少，当m在0.5到1之间时有所上升，之后随着m的增加，CvM检验的归一化仿真时间呈逐渐平稳的趋势。

4 结束语

针对Nakagami衰落信道的统计性检验问题，本文提出一种基于CvM检验的拟合优度检验方法，通过提取Nakagami衰落信道的包络序列，采用CvM检验算法对包络序列的累积分布函数进行检验。实验结果表明，本文方法对不同m下的Nakagami衰落信道检验都具有很高的准确率，当虚警概率为0.01时，准确率均为92.6%以上。同时检验的准确率不会被其他信道干扰，可靠性强，复杂度低，具有较高的实际应用价值。本文对Nakagami衰落信道的统计特性检验仅基于一阶特性进行评估，后续将对二阶统计特性进行更为严谨的评估，此外，针对m值较大时检验准确率有所下降的原因，也将做进一步分析，并给出相应的解决方案。