0 概述

目前, 针对发射天线选择(Transmit Antenna Selection, TAS)/接收最大比合并(receive Maximal Ratio Combining, MRC)联合收发分集无线通信系统的物理层安全问题受到广泛关注。文献[1-2]分别研究了理想信道状态信息(Channel State Information, CSI)下瑞利衰落信道及Nakagami衰落信道上, 窃听者采用MRC接收分集、主信道采用TAS/接收选择合并(Selection Combining, SC)和TAS/MRC联合收发分集无线通信系统的物理层安全性能。文献[3-4]分别研究了相关瑞利衰落信道和相关Nakagami衰落信道上窃听者采用MRC接收分集、主信道采用TAS/MRC联合收发分集无线通信系统的物理层安全性能。然而在实际应用场景中, TAS因存在反馈延时和估计错误, 将影响联合收发分集无线通信系统的物理层安全性能。为给出定量评价, 文献[5]分析了瑞利衰落信道上窃听者采用MRC接收分集、主信道采用反馈延时TAS(TAS with Feedback Delay, TASD)/MRC联合收发分集无线通信系统的物理层安全性能。文献[6]研究了相关瑞利衰落信道上反馈延时对TAS/MRC联合收发分集无线通信系统物理层安全性能的影响。文献[7]研究了非理想信道估计下窃听者采用MRC接收分集、主信道采用任意TAS基于接收阈值的MRC无线通信系统的物理层安全性能。

文献[1-7]重点研究单窃听者场景下的物理层安全性能, 而多窃听者场景下的物理层安全研究也相继出现:文献[8]研究了多入单出与多窃听者场景下的安全吞吐量最大化问题; 文献[9]分析了多窃听者场景下非正交多址接入无线通信系统上行链路的物理层安全性能; 文献[10]研究了多个多天线窃听者场景下Nakagami衰落信道上过期CSI对TAS/MRC联合收发分集无线通信系统物理层安全性能的影响。

反馈延时会恶化联合收发分集无线通信系统的物理层安全性能^[10], 而联合应用导频信号辅助调制(Pilot Symbol Assisted Modulation, PSAM)技术和最小均方误差(Minimal Mean Square Error, MMSE)信道预测器可以减轻其对TAS/MRC联合收发分集无线通信系统误码性能的影响^[11-12]。文献[13]通过介绍预测发射天线选择(Transmit Antenna Selection with channel Predication, TASP)的基本原理, 表明利用不同时刻发送数据块的时域相关性对待发送数据块的CSI进行预测, 可以选出最优发送天线进行数据传输。

本文针对多天线窃听者场景下的TASP/MRC无线通信系统, 推导其在瑞利块衰落信道上非零安全容量概率、安全中断概率和渐近安全中断概率的解析表达式, 并据此研究窃听者数目、归一化延时、收发天线数等参数对系统物理层安全性能的影响。

1 系统模型

在多窃听者场景下, 瑞利块衰落信道上TASP/MRC联合收发分集无线通信系统的物理层安全模型如图 1所示。其中, 发送端Alice、合法接收端Bob分别有N_A、N_B根天线, M个非共谋的被动窃听者(Eve)均有N_E根天线, Bob和M个窃听者均采用MRC分集接收。该模型采用文献[11]中的N阶MMSE维纳信道预测器和PASM技术进行主信道预测与估计。

假定:

1) 主信道采用TAS/MRC联合收发分集, 即发送端Alice从N_A根发射天线中选择一根使合法接收端Bob MRC合并器输出瞬时信噪比(Signal Noise Ratio, SNR)最大的天线发送数据, 发送端按块(块长为L_b)发送数据符号, 每个数据块的前N_A个符号为按正交设计功率为E_p的导频信号^[11], 后(L_b-N_A)个符号为所要发送的数据符号。

2) 主信道和各个窃听者信道均为相互独立的瑞利块衰落信道。

3) M个窃听者相互独立, γ_mE表示第m个窃听者每根接收天线上的平均信噪比, 1≤m≤M, 各个窃听者的每根天线上平均接收信噪比均相同, 其值为γ_E, 即γ_mE=γ_E。

4) 令x∈{B, m}分别表示主信道和第m个窃听者信道, h_{ji, x}(α)(1≤i≤N_A, 1≤j≤N_B或1≤j≤N_E)表示主信道或第m个窃听者信道上第α个数据块第i根发射天线到第j根接收天线之间的信道增益, 服从均值为0、方差为σ_h²的复高斯分布。

5) 采用文献[11]的Jakes信道模型, 信道增益之间的相关系数为:

$ {\rm{E}}\left[ {{h_{ji,x}}(\alpha )h_{ji,x}^*(\alpha - \tau )} \right] = \sigma _{h,x}^2{\rm{J}}_0^2\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_{\rm{d}}}\tau } \right) $

(1)

其中, E[·]表示求期望, J₀(·)为第一类零阶Bessel函数^[11], f_dτ为归一化延时, f_d为多普勒频移, 反馈延时τ=DL_bT_s, D为延时块数, T_s为Alice发送符号间隔。

令γ_B为合法接收端每根天线上的平均信噪比, N₀为第i根发射天线到第j根接收天线上加性高斯白噪声的功率, γ_i=[i(1－ρ_p)+1]γ_B/(i+1), N_B+k=L, 进而可得合法接收端MRC合并器瞬时输出信噪比γ_B的概率密度函数(Probability Density Function, PDF)如下:

$ {f_{{\gamma _{\rm{B}}}}}\left( {{\gamma _{\rm{B}}}} \right) = \sum\limits_{i,j,k} f \left( {{N_{\rm{A}}},{N_{\rm{B}}},{\rho _{\rm{p}}}} \right){p_{{\gamma _{\rm{B}}}}}\left( {{\gamma _{\rm{B}}}} \right) $

(2)

$ {p_{{\gamma _{\rm{B}}}}}\left( {{\gamma _{\rm{B}}}} \right) = \frac{{\gamma _{\rm{B}}^{L - 1}}}{{\Gamma (L)\bar \gamma _i^L}}\exp \left( { - {\gamma _{\rm{B}}}/{{\bar \gamma }_i}} \right) $

(3)

$ \begin{array}{l} \sum\limits_{i,j,k} f \left( {{N_{\rm{A}}},{N_{\rm{B}}},{\rho _{\rm{p}}}} \right) = \frac{{{N_{\rm{A}}}!}}{{\left( {{N_{\rm{B}}} - 1} \right)!}}\sum\limits_{i = 0}^{{N_{\rm{A}}} - 1} {\frac{{{{( - 1)}^i}}}{{i!\left( {{N_{\rm{A}}} - 1 - i} \right)!}}} \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{j = 0}^{i\left( {{N_{\rm{B}}} - 1} \right)} A (i,j)j!\sum\limits_{k = 0}^j {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {j + {N_{\rm{B}}} - 1}\\ {j - k} \end{array}} \right)} \frac{{{{\left( {1 - {\rho _{\rm{p}}}} \right)}^{j - k}}\rho _{\rm{p}}^k}}{{k!{{\left[ {i\left( {1 - {\rho _{\rm{p}}}} \right) + 1} \right]}^j}}} \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\Gamma (L)}}{{{{(i + 1)}^L}}} \end{array} $

(4)

其中, A(i, i(N_B－1))=1/[(N_B－1)!]ⁱ, $ A\left( i, j \right)=\left( \frac{1}{j} \right)\sum\limits_{l=1}^{J}{\frac{l\left( i+1 \right)-j}{l!}}\times A(i, j-l) $, J=min(j, N_B－1), 2≤j≤i(N_B－1)－1, A(i, 0)=1, A(i, 1)=i, ρ_p=r^H[R]^－1r为主信道预测信道增益与真实信道增益之间的功率相关系数, [r]_φ=J₀(2πf_d|D+φ－1|L_bT_s), [R]_φϑ=J₀(2πf_d|φ－ϑ|L_bT_s)+σ_v²δ(φ－ϑ), φ, ϑ=1, 2, …, N, σ_v²=N₀/E_p表示信道估计误差的方差。

利用式(2)可得γ_B的累积分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)为:

$ \begin{array}{l} {F_{{\gamma _{\rm{B}}}}}(\gamma ) = \sum\limits_{i,j,k} f \left( {{N_{\rm{A}}},{N_{\rm{B}}},{\rho _{\rm{p}}}} \right)\frac{1}{{\Gamma (L)\bar \gamma _i^L}} \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_0^\gamma {\gamma _{\rm{B}}^{L - 1}} \exp \left( { - {\gamma _{\rm{B}}}/{{\bar \gamma }_i}} \right){\rm{d}}{\gamma _{\rm{B}}} \end{array} $

(5)

参考文献[13], 利用下式:

$ \int_0^\infty {{y^{a - 1}}} {{\rm{e}}^{ - by}}{\rm{d}}y = \Gamma (a)/{b^a} $

(6)

同时令γ→∞, 可得$ F{{\gamma }_{\text{B}}}\left( \infty \right)=\sum\limits_{i, j, k}{f({{N}_{\text{A}}}, {{N}_{\text{B}}}, {{\rho }_{\text{p}}})=1} $。经过化简整理, 可推得γ_B的CDF为:

$ \begin{array}{l} {F_{{\gamma _{\rm{B}}}}}(\gamma ) = 1 - \sum\limits_{i,j,k} f \left( {{N_{\rm{A}}},{N_{\rm{B}}},{\rho _{\rm{p}}}} \right) \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{g = 0}^{L - 1} {\frac{{{\gamma ^g}}}{{g!\bar \gamma _i^g}}} \times \exp \left( { - \frac{\gamma }{{{{\bar \gamma }_i}}}} \right) \end{array} $

(7)

由于M个窃听者均为被动窃听且发射天线的选择由主信道CSI决定, 因此主信道TAS发射分集方案对于窃听者将是一种随机天线选择, 即对每个窃听者, 其所在的窃听信道相当于单入多出系统, 该窃听者仅能够获得自身MRC合并器的分集增益。参考文献[10], 第m个窃听者MRC合并器瞬时输出信噪比γ_mE的PDF如式(8)所示, CDF如式(9)所示。

$ {f_{{\gamma _{m{\rm{E}}}}}}\left( {{\gamma _{m{\rm{E}}}}} \right) = \frac{{\gamma _{m{\rm{E}}}^{{N_{\rm{E}}} - 1}}}{{\left( {{N_{\rm{E}}} - 1} \right)!\bar \gamma _{\rm{E}}^{{N_{\rm{E}}}}}} \times \exp \left( { - \frac{{{\gamma _{m{\rm{E}}}}}}{{{{\bar \gamma }_{\rm{E}}}}}} \right) $

(8)

$ {F_{{\gamma _{m{\rm{E}}}}}}(\gamma ) = 1 - \sum\limits_{t = 0}^{{N_{\rm{E}}} - 1} {\frac{{{\gamma ^t}}}{{t!\bar \gamma _{\rm{E}}^t}}} \times \exp \left( { - \frac{\gamma }{{{{\bar \gamma }_{\rm{E}}}}}} \right) $

(9)

当M个窃听者采用非共谋策略进行被动窃听时, 当且仅当合法接收端Bob的瞬时输出信噪比大于任意一个窃听者的瞬时SNR才可保证信息的安全传输, 则M个窃听者的最大瞬时输出SNR为:

$ {\gamma _{\rm{E}}} = \mathop {\max }\limits_{1 \le m \le M} \left\{ {{\gamma _{m{\rm{E}}}}} \right\} $

(10)

由于M个窃听者相互独立, 因此参考文献[10], γ_E的PDF可表示为:

$ {f_{{\gamma _{\rm{E}}}}}\left( {{\gamma _{\rm{E}}}} \right) = M{f_{{\gamma _{m{\rm{E}}}}}}\left( {{\gamma _{m{\rm{E}}}}} \right){\left[ {{F_{{\gamma _{m{\rm{E}}}}}}(\gamma )} \right]^{M - 1}} $

(11)

将式(9)代入式(11), 利用多项式展开定理, 可得:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left[ {{F_{{\gamma _{m\text{E}}}}}(\gamma )} \right]}^{M - 1}} = \sum\limits_{n = 0}^{M - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {M - 1}\\ n \end{array}} \right)} {{( - 1)}^n}{{\rm{e}}^{ - n\gamma /{{\bar \gamma }_{\rm{E}}}}} \times }\\ {\sum\limits_{\left| \mathit{\boldsymbol{b}} \right| = n} R \left( {\mathit{\boldsymbol{b'}},n} \right){{\left( {\gamma /{{\bar \gamma }_{\rm{E}}}} \right)}^Q}} \end{array} $

(12)

其中, $ \boldsymbol{{b}'}=({{b}_{0}}, {{b}_{1}}, \ldots , {{b}_{{{N}_{\text{E}}}-1}})\in {{\mathbb{N}}^{{{N}_\text{E}}}}, $是长度为N_E的非负整数向量, $ \left| {\boldsymbol{{b}'}} \right|=\sum\limits_{q=0}^{{{N}_{\text{E}}}-1}{{{b}_{q}}}, Q=\sum\limits_{q=0}^{{{N}_{\text{E}}}-1}{q{{b}_{q}}} $, R(b, n)定义如式(13)所示。

$ R\left( {\mathit{\boldsymbol{b'}},n} \right) = \Gamma (n + 1)\prod\limits_{q = 0}^{{N_{\rm{E}}} - 1} {\frac{1}{{{{[\Gamma (q + 1)]}^{{b_q}}}\Gamma \left( {{b_q} + 1} \right)}}} $

(13)

将式(8)、式(12)代入式(11), 经化简整理可得γ_E的PDF为:

$ {f_{{\gamma _{\rm{E}}}}}\left( {{\gamma _{\rm{E}}}} \right) = {\mathit{\Phi }_{\rm{E}}} \times \frac{{\gamma _{\rm{E}}^{\alpha - 1}}}{{\Gamma (\alpha )\bar \gamma _n^\alpha }} \times \exp \left( { - \frac{{{\gamma _{\rm{E}}}}}{{{{\bar \gamma }_n}}}} \right) $

(14)

其中, γ_n=γ_E/(n+1), α=N_E+Q。

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\Phi }_{\rm{E}}} = \frac{M}{{\Gamma \left( {{N_{\rm{E}}}} \right)}} \times \sum\limits_{n = 0}^{M - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {M - 1}\\ n \end{array}} \right)} {{( - 1)}^n} \times }\\ {\sum\limits_{\left| \mathit{\boldsymbol{b}} \right| = n} R \left( {\mathit{\boldsymbol{b'}},n} \right) \times \frac{{\Gamma (\alpha )}}{{{{(n + 1)}^\alpha }}}} \end{array} $

(15)

参考文献[14], 可得γ_E的CDF为:

$ {F_{{\gamma _{\rm{E}}}}}(\gamma ) = 1 - {\mathit{\Phi }_{\rm{E}}}\sum\limits_{g = 0}^{\alpha - 1} {\frac{{{\gamma ^g}}}{{g!\bar \gamma _n^g}}} \times \exp \left( { - \frac{\gamma }{{{{\bar \gamma }_n}}}} \right) $

(16)

由合法接收端和窃听者的瞬时信噪比可得多窃听者场景下瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测器和TASP/MRC联合收发分集的无线通信系统的瞬时安全容量为:

$ {C_{\rm{s}}} = \max \left( {0,{C_{\rm{B}}} - {C_{\rm{E}}}} \right) $

(17)

其中, C_B=lb(1+γ_B)和$ {{C}_{\text{E}}}=\underset{1\le m\le M}{\mathop{\text{max}}}\, \{\text{lb}(1+{{\gamma }_{m\text{E}}})\} $分别为主信道和M个窃听者信道中的最大瞬时容量。

2 系统物理层安全性能分析 2.1 非零安全容量概率

根据文献[15], 多窃听者场景下瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测器和TASP/MRC无线通信系统的非零安全容量概率可表示为:

$ \text{Pr}\left( {{C_{\rm{s}}} > 0} \right) = \text{Pr} \left( {{\gamma _{\rm{B}}} > {\gamma _{\rm{E}}}} \right) = \int_0^\infty {{F_{{\gamma _{\rm{E}}}}}} \left( {{\gamma _{\rm{B}}}} \right){f_{{\gamma _{\rm{B}}}}}\left( {{\gamma _{\rm{B}}}} \right){\rm{d}}{\gamma _{\rm{B}}} $

(18)

其中, Pr(·)表示求概率。将式(2)和式(16)代入式(18)中可得:

$ \begin{array}{l} \text{Pr}\left( {{C_{\rm{s}}} > 0} \right) = 1 - {\mathit{\Phi }_{\rm{E}}}\sum\limits_{g = 0}^{\alpha - 1} {\frac{1}{{g!\bar \gamma _n^g}}} \times \sum\limits_{i,j,k} f \left( {{N_{\rm{A}}},{N_{\rm{B}}},\rho } \right) \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{{\Gamma (L)\bar \gamma _i^L}}\int_0^\infty {\gamma _{\rm{B}}^{g + L - 1}} {{\rm{e}}^{ - \lambda {\gamma _{\rm{B}}}}}{\rm{d}}{\gamma _{\rm{B}}} \end{array} $

(19)

其中, λ=1/γ_i+1/γ_n。利用式(6), 式(19)经化简整理可得多窃听者场景下瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测器和TASP/MRC无线通信系统的非零安全容量概率为:

$ \begin{array}{l} \text{Pr} \left( {{C_{\rm{s}}} > 0} \right) = 1 - {\mathit{\Phi }_{\rm{E}}}\sum\limits_{g = 0}^{\alpha - 1} {\frac{1}{{g!\bar \gamma _n^g}}} \sum\limits_{i,j,k} f \left( {{N_{\rm{A}}},{N_{\rm{B}}},\rho } \right) \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\Gamma (g + L)}}{{\Gamma (L)\bar \gamma _i^L{\lambda ^{g + L}}}} \end{array} $

(20)

2.2 安全中断概率

假定TASP/MRC联合收发分集的无线通信系统的目标安全速率为R_s, 可得安全中断概率表达式为:

$ {P_{{\rm{out}}}}\left( {{R_{\rm{s}}}} \right) = \int_0^\infty {{f_{{\gamma _{\rm{E}}}}}} \left( {{\gamma _{\rm{E}}}} \right){F_{{\gamma _{\rm{B}}}}}\left( {{\gamma _{\rm{w}}}} \right){\rm{d}}{\gamma _{\rm{E}}} $

(21)

其中, γ_w=(2^R_s－1)+2^R_sγ_E。将γ_w、式(8)和式(14)代入式(21), 可得:

$ \begin{array}{l} {P_{{\rm{out}}}}\left( {{R_{\rm{s}}}} \right) = 1 - \sum\limits_{i,j,k} f \left( {{N_{\rm{A}}},{N_{\rm{B}}},\rho } \right)\sum\limits_{g = 0}^{L - 1} {\frac{{{\mathit{\Phi }_E}}}{{g!\bar \gamma _i^g}}} \times \frac{1}{{\Gamma (\alpha )\bar \gamma _n^\alpha }} \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{\rm{e}}^{ - \theta }}\underbrace {\int_0^\infty {{{\left( {\left( {{2^{{R_{\rm{s}}}}} - 1} \right) + {2^{{R_{\rm{s}}}}}{\gamma _{\rm{E}}}} \right)}^g}} \gamma _{\rm{E}}^{\alpha - 1}{{\rm{e}}^{ - \mu {\gamma _{\rm{E}}}}}{\rm{d}}{\gamma _{\rm{E}}}}_\Delta \end{array} $

(22)

其中, θ=(2^R_s－1)/γ_i, μ=1/γ_E+2^R_s/γ_i。对式(22)进行二项式展开, 并利用式(6), 可得:

$ \Delta = \sum\limits_{\nu = 0}^g {\left( {\begin{array}{*{20}{l}} g\\ v \end{array}} \right)} {\left( {{2^{{R_{\rm{s}}}}} - 1} \right)^{g - v}}{2^{{R_{\rm{s}}}v}} \times \frac{{\Gamma (\alpha + v)}}{{{\mu ^{\alpha + v}}}} $

(23)

将式(23)代入式(22), 可得多窃听者场景下瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测器和TAS/MRC联合收发分集无线通信系统的安全中断概率表达式为:

$ \begin{array}{l} {P_{{\rm{out }}}}\left( {{R_{\rm{s}}}} \right) = 1 - \sum\limits_{i,j,k} f \left( {{N_{\rm{A}}},{N_{\rm{B}}},\rho } \right)\sum\limits_{g = 0}^{L - 1} {\frac{{{{\rm{e}}^{ - \theta }}}}{{g!\bar \gamma _i^g}}} \sum\limits_{v=0}^{g}{\left( \begin{align} & g \\ & v \\ \end{align} \right)}\times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\left( {{2^{{R_{\rm{s}}}}} - 1} \right)^{g - v}}{2^{{R_{\rm{s}}}v}} \times \frac{{{\mathit{\Phi }_{\rm{E}}}}}{{\Gamma (\alpha )\bar \gamma _n^\alpha }} \times \frac{{\Gamma (\alpha + v)}}{{{\mu ^{\alpha + v}}}} \end{array} $

(24)

令M=1和ρ=1, 式(24)可化简为文献[1]中的式(13), 即理想CSI下的TAS/MRC联合收发分集无线通信系统的安全中断概率表达式; 令M=1和ρ=J₀²(2πf_dτ), 式(24)可化简为文献[5]中的式(16), 即TASD/MRC无线通信系统的安全中断概率表达式。由此可见, 采用MMSE信道预测器和TAS/MRC联合收发分集无线通信系统的安全中断概率, 即表达式(24)更具一般性。

2.3 渐近安全中断概率

下文研究高SNR下的渐近安全中断概率, 以直观地反映收发天线数、窃听者数目等参数对瑞利块衰落信道上采用TASP/MRC联合收发分集的无线通信系统物理层安全性能的影响。

令γ_B→∞, 将式(7)中的指数部分进行麦克劳林级数展开, 仅保留展开式前两项, 经化简、整理可得γ_BCDF的渐近表达式为:

$ F_{{\gamma _{\rm{B}}}}^\infty (\gamma ) = \sum\limits_{i,j} {\Psi \left( {{N_{\rm{A}}},{N_{\rm{B}}},{\rho _p}} \right)} {\left( {\frac{\gamma }{{{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}}}} \right)^{{N_{\rm{B}}}}} + o\left( {{{\left( {\frac{\gamma }{{{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}}}} \right)}^{{N_{\rm{B}}}}}} \right) $

(25)

其中, ο(·)表示高阶无穷小量。

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{i,j} \Psi \left( {{N_{\rm{A}}},{N_{\rm{B}}},{\rho _{\rm{p}}}} \right) = \frac{{{N_{\rm{A}}}!}}{{{N_{\rm{B}}}\left( {{N_{\rm{B}}} - 1} \right)!}} \times }\\ {\quad \sum\limits_{i = 0}^{{N_{\rm{A}}} - 1} {\frac{{{{( - 1)}^i}}}{{i!\left( {{N_{\rm{A}}} - 1 - i} \right)!}}} \times \sum\limits_{j = 0}^{i\left( {{N_{\rm{B}}} - 1} \right)} A (i,j)j!\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {j + {N_{\rm{B}}} - 1}\\ j \end{array}} \right) \times } \end{array}\\ \quad \frac{{{{\left( {1 - {\rho _{\rm{p}}}} \right)}^j}}}{{{{\left[ {i\left( {1 - {\rho _{\rm{p}}}} \right) + 1} \right]}^{j + {N_{\rm{B}}}}}}} \end{array} $

(26)

将式(14)和式(25)代入式(21), 利用二项式展开定理及式(6), 可得多窃听场景下TASP/MRC无线通信系统的渐近安全中断概率为:

$ P_{{\rm{out }}}^\infty \left( {{R_{\rm{s}}}} \right) = {\left( {{G_{\rm{a}}}{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}} \right)^{ - {G_{\rm{d}}}}} + o\left( {\bar \gamma _{\rm{B}}^{ - {G_{\rm{d}}}}} \right) $

(27)

其中, G_d=N_B和G_a=Λ_a^－1/G_d分别表示多窃听场景下TASP/MRC联合收发分集无线通信系统的安全分集增益、安全阵列增益, Λ_a的表达式如式(28)所示。

$ \begin{array}{l} {\mathit{\Lambda }_{\rm{a}}} = \sum\limits_{i,j} {\mathit{\Psi }\left( {{N_{\rm{A}}},{N_{\rm{B}}},{\rho _{\rm{p}}}} \right)} \sum\limits_{u = 0}^{{N_{\rm{B}}}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{\rm{B}}}}\\ u \end{array}} \right)} \times \\ \;\;\;\;\;\;\;{\left( {{2^{{R_{\rm{s}}}}} - 1} \right)^{{N_{\rm{B}}} - u}}{\left( {{2^{{R_{\rm{s}}}}}{{\bar \gamma }_n}} \right)^u}{\mathit{\Phi }_{\rm{E}}} \times \frac{{\Gamma (\alpha + u)}}{{\Gamma (\alpha )}} \end{array} $

(28)

当f_dτ=0时, 即在理想CSI下, 主信道瞬时SNR的CDF的渐近表达式为:

$ F_{{\gamma _{\rm{B}}}}^\infty (\gamma ) = \frac{1}{{{{\left( {{N_{\rm{B}}}!} \right)}^{{N_{\rm{A}}}}}}} \times {\left( {\frac{\gamma }{{{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}}}} \right)^{{N_{\rm{A}}}{N_{\rm{B}}}}} + o\left( {{{\left( {\frac{\gamma }{{{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}}}} \right)}^{{N_{\rm{A}}}{N_{\rm{B}}}}}} \right) $

(29)

依照式(27)的推导过程, 可得理想CSI下渐近安全中断概率的表达式为:

$ P_{{\rm{out }}}^\infty \left( {{R_{\rm{s}}}} \right) = {\left( {{G_0}{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}} \right)^{ - {N_{\rm{A}}}{N_{\rm{B}}}}} + o\left( {\bar \gamma _{\rm{B}}^{ - {N_{\rm{A}}}{N_{\rm{B}}}}} \right) $

(30)

其中, 安全分集增益G_d=N_AN_B, 安全阵列增益G₀=Λ₀^－1/G_d, Λ₀的表达式如式(31)所示。

$ \begin{array}{l} {\mathit{\Lambda }_0} = \frac{1}{{{{\left( {{N_{\rm{B}}}!} \right)}^{{N_{\rm{A}}}}}}} \times \sum\limits_{u = 0}^{{N_{\rm{A}}}{N_{\rm{B}}}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{\rm{A}}}{N_{\rm{B}}}}\\ u \end{array}} \right)} {\left( {{2^{{R_{\rm{s}}}}}{{\bar \gamma }_{\rm{n}}}} \right)^u} \times \\ \;\;\;\;\;\;\;{\left( {{2^{{R_{\rm{s}}}}} - 1} \right)^{{N_{\rm{A}}}{N_{\rm{B}}} - u}}{\mathit{\Phi }_{\rm{E}}} \times \frac{{\Gamma (\alpha + u)}}{{\Gamma (\alpha )}} \end{array} $

(31)

从式(27)和式(30)的渐近表达式可以看出:

1) 多窃听者场景下TASP/MRC联合收发分集无线通信系统的安全分集增益G_d=N_B, 反映了安全中断概率曲线随主信道SNR变化的斜率。

2) 在理想CSI下, TASP/MRC无线通信系统的安全分集增益为N_AN_B。

3) TASP/MRC无线通信系统的安全分集增益由主信道决定, 与窃听者数目M和天线数无关。

3 数值计算与仿真

本文利用MATLAB软件, 对多窃听者场景下瑞利衰落信道上采用MMSE信道预测和TASP/MRC联合收发分集的无线通信系统的物理层安全性能进行数值计算和仿真, 研究N_A、N_B、N_E、归一化延时f_dτ以及窃听者数目M对TASP/MRC天线分集无线通信系统物理层安全性能的影响。不失一般性, 采用文献[11]的仿真参数:信道预测器阶数N=5, T_s=10^-6, f_d=100 Hz, E_p/N₀=30 dB, L_b=1/(100f_dT_s); 除非特别说明, 否则均假设N_A=4, N_B=2, N_E=2, R_s=1 bit/s/Hz, γ_E=5 dB。

图 2给出了不同窃听者数目M和归一化延时f_dτ下采用TASP/MRC联合收发分集的无线通信系统的非零安全容量概率, 其中窃听者数目M={1, 3}。

由图 2可知:

1) 在多窃听者场景下, TASP/MRC无线通信系统非零安全容量概率的仿真结果与理论计算结果相吻合, 证明了理论推导的正确性。

2) 当归一化延时f_dτ一定时, 非零安全容量概率随着窃听者数目M的增加而减小, 这是由于增加M使得等效窃听信道获得更大瞬时SNR的可能性增大, 从而增强了窃听者获取信息的能力, 进而导致非零安全容量概率降低。

3) 当窃听者数目M一定时, 归一化延时越小, TASP/MRC联合收发分集的非零安全容量性能越好, 这是由于f_dτ越小, 主信道CSI越接近于理想情况, 从而使TASP/MRC分集获得更好的安全性能。

图 3给出了多窃听者场景不同N_E和归一化延时f_dτ下采用TASP/MRC联合收发分集无线通信系统的安全中断概率, 其中窃听者数目M=3。

由图 3可知:

1) 多窃听者场景下TASP/MRC无线通信系统安全中断概率的仿真结果与理论计算结果相吻合, 证明了理论推导的正确性。

2) 当归一化延时f_dτ一定时, 窃听者天线数目的增加将恶化TASP/MRC无线通信系统的安全中断性能, 这是由于当窃听者采用MRC分集接收时, N_E的增加提高了其瞬时接收信噪比, 同时也提高了其窃取信息的能力, 造成安全性能的恶化。例如:安全中断概率为10^-5、f_dτ=0.05时, N_E=4比N_E=2, 3所对应的安全中断概率曲线性能分别恶化了约1.7 dB和0.8 dB; 安全中断概率为10^-5、f_dτ=0.2时, N_E=4比N_E=2, 3所对应的安全中断概率曲线性能恶化了约1.9 dB和0.9 dB。

图 4给出了多窃听者场景和Bob不同接收天线数N_B下TASP/MRC无线通信系统的安全中断概率, 其中N_B={2, 3, 4}, M=3, γ_E=0 dB。

由图 4可知:

1) 当归一化延时f_dτ一定时, 合法接收天线数N_B增加可以显著改善TASP/MRC无线通信系统的安全性能, 这是由于N_B的增加提高了Bob的瞬时接收信噪比, 同时N_B的增大提高了安全分集增益。例如安全中断概率为10^-5、f_dτ=0.05时, N_B=4比N_B=2, 3所对应的安全中断概率曲线性能恶化了4.9 dB和1.8 dB。

2) 增加N_B还有助于改善反馈延时对TASP/MRC无线通信系统安全性能造成的负面影响。例如安全中断概率为10^-5、N_B=2, 3, 4时, f_dτ=0.2比f_dτ=0.05所对应的安全中断概率曲线性能分别恶化了约3 dB、1.5 dB、1 dB。

图 5给出了多窃听者场景不同γ_E下瑞利块衰落信道上采用MMSE信道预测器和TASP/MRC联合收发分集的无线通信系统的安全中断概率, 其中M={1, 3}, f_dτ={0, 0.2}。

由图 5可知:当窃听者数目M和归一化延时f_dτ一定时, γ_E越大, 其对TASP/MRC收发分集无线通信系统安全中断性能的影响越明显, 这是因为γ_E的增大直接增强了窃听者窃取信息的能力, 由此造成安全中断概率的增大。例如:安全中断概率在10^-4、M=3且f_dτ=0时, γ_E=5 dB比γ_E=0 dB所对应的安全中断概率曲线性能恶化了约4.5 dB; M=3且f_dτ=0.2时, γ_E=5 dB比γ_E=0 dB所对应的安全中断概率曲线性能恶化了约4.4 dB。

图 6给出了M=2时联合收发分集无线通信系统的渐近安全中断概率, 其中γ_E=5 dB。

由图 6可知:当SNR一定时, 多窃听者场景下TASP/MRC联合收发分集无线通信系统的安全中断概率值与其对应的仿真值相吻合, 证明了理论分析的正确性; 在高SNR下, TASP/MRC分集无线通信系统的安全中断概率的渐近结果与其精确理论结果非常接近, 验证了渐近分析的准确性。

4 结束语

本文推导了多窃听者场景下TASP/MRC联合收发分集无线通信系统在瑞利块衰落信道上非零安全容量概率、安全中断概率和渐近安全中断概率的解析表达式, 数值计算结果与计算机仿真结果相吻合, 验证了理论分析的正确性。此外, 本文还研究了窃听者数目、归一化延时f_dτ及N_A、N_B、N_E等参数对TASP/MRC无线通信系统物理层安全性能的影响。分析结果表明, 归一化延时f_dτ越小、接收天线数目越多, TASP/MRC无线通信系统的物理层安全性能越好, 而增加窃听者数目或接收天线数将恶化物理层安全性能。同时通过对渐近安全中断概率的分析可知, 在理想CSI下, TASP/MRC无线通信系统的安全分集增益为N_AN_B, 反馈延时条件下的安全分集增益为N_B。本文研究可为TASP/MRC无线通信系统的安全设计提供理论参考。