0 概述

在衰落信道上的被动窃听场景下, 多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)无线通信系统的物理层安全受到广泛关注^[1]。常用的三节点被动窃听信道模型包括发射端(Alice)、合法接收端(Bob)和窃听者(Eve), 针对三者采用不同技术的情形, 研究人员分别研究了无线通信系统的物理层安全。

文献[2]研究瑞利衰落信道上Alice采用发射天线选择(Transmit Antenna Selection, TAS)在多天线Eve场景下的物理层安全问题。文献[3]比较Nakagami衰落信道上Alice采用TAS、Bob和Eve分别采用最大比合并(Maximal Ratio Combining, MRC)或选择合并(Selection Combining, SC)分集接收4种组合情形下的物理层安全性能。文献[4]推导相关衰落信道上Alice采用正交空时分组码(Orthogonal Space-Time Block Code, OSTBC)编码无线通信系统的安全中断概率和渐近安全中断概率的解析表达式。文献[5]研究Nakagami衰落信道上Alice采用TAS、Bob采用人工噪声方案的多入单出无线通信系统的物理层安全性能。文献[6]提出发射端多天线选择方案来保障MIMO无线通信系统的物理层安全传输。文献[7]推导瑞利衰落信道上Alice采用组合TAS和Alamouti码的方案、Bob和Eve采用MRC分集接收无线通信系统的安全中断概率和非零安全容量概率的解析表达式。文献[8]研究人工噪声辅助OSTBC编码的多用户多入单出中继网络的物理层安全问题。

文献[2-8]均假定Alice可以获得理想的主信道状态信息(Channel State Information, CSI), 然而在实际情况下由于反馈链路存在延时, 使得Alice使用过期的CSI进行TAS, 严重降低了无线通信系统的物理层安全性能。文献[9-10]分别研究了瑞利和Nakagami衰落信道上Eve采用MRC分集接收、主信道采用反馈延时发射天线选择(TAS with Feedback Delay, TASD)/MRC分集接收无线通信系统的物理层安全性能, 其渐近分析结果均表明反馈延时使得系统只能获得Bob的接收分集增益, 无法获得发射天线增益。文献[11]推导了瑞利衰落信道上接收端天线相关场景下, Eve采用MRC分集接收、主信道采用TASD/MRC分集接收无线通信系统的安全中断概率和非零安全容量概率。文献[12-13]研究Nakagami衰落信道上中继协作系统在过期CSI下的物理层安全性能, 推导了遍历安全容量和安全中断概率的表达式, 理论分析结果表明, 过期CSI会降低中继协作系统的物理层安全性能。

上述研究仅分析了过期CSI下的无线通信系统物理层安全性能, 未提出提高其安全性能的解决方案。最小均方误差(Minimal Mean Square Error, MMSE)信道预测器可以减小反馈延时对无线通信系统误码性能的影响^[14-15], 文献[16]将其应用于TAS/MRC无线通信系统, 改善系统在多窃听场景下的物理层安全性能。受此启发, 本文将MMSE信道预测方案应用于TAS/OSTBC无线通信系统, 以改善其在过期CSI下的物理层安全性能。

1 系统模型 1.1 系统描述

本文研究对象为时间选择性瑞利衰落信道上采用组合信道预测发射天线选择(TAS with Prediction, TASP)和OSTBC的MIMO无线通信系统, 其信道增益服从同一分布并且互相独立。如图 1所示, 在此系统中, 三节点被动窃听模型由Alice、Bob和Eve组成, 其分别配有N_A、N_B、N_E根天线, Alice采用TAS/OSTBC编码发送安全信息符号, Bob和Eve均采用MRC分集接收。Alice与Bob之间的主信道通过导频信号辅助调制技术和MMSE维纳信道预测器来获得主信道的CSI。由于是被动窃听攻击, 因此Alice无法获得窃听信道的CSI。

1.2 信道模型

主信道和窃听信道增益均按块变化(块长为L_b), 主信道第α个衰落块的信道矩阵为H_AB(α)∈${{\mathbb{C}}^{{{N}_{\text{B}}}\text{ }\!\!\times\!\!\text{ }{{N}_{\text{A}}}}}$, 其元素h_jm(α)表示第m根发射天线与第j根接收天线之间的信道增益, 服从均值为0、方差为1的复高斯分布, 记为h_jm(α)~CN(0, 1)。

主信道采用Jakes信道模型^[14], 信道增益之间的相关系数满足:

$ E\left[ {{h_{jm}}\left( \alpha \right)h_{jm}^ * \left( {\alpha - \tau } \right)} \right] = {J_0}\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_{\rm{d}}}\tau } \right) $

其中, E[·]表示求期望, h_jm^*(α-τ)是h_jm^*(α-τ)的复共轭, J₀(·)为第一类零阶贝塞尔函数, f_d为多普勒频移, τ=DL_bT_s为反馈延时, D为延时衰落块数, T_s为发送的安全信息符号周期。

窃听信道第α个衰落块的信道矩阵为H_AE(α)∈${{\mathbb{C}}^{{{N}_{\text{E}}}\text{ }\!\!\times\!\!\text{ }{{N}_{\text{T}}}}}$, 其中, N_T是选择天线数。

Bob和Eve的每根接收天线上的加性白高斯噪声(Additive White Gaussian Noise, AWGN)相互独立, 均服从CN(0, N₀)。

1.3 信道预测

Alice采用如图 2所示的传输帧结构, 每帧帧长均为L_b个符号, 每帧的前N_A个符号周期内发送正交导频序列, 用于Bob对主信道进行信道估计和预测。

采用K阶MMSE维纳信道预测器, Bob可得第α+D块的预测主信道系数为:

$ {{\hat h}_{jm}}\left( {\alpha + D} \right) = \mathit{\boldsymbol{w}}_{op}^{\rm{H}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde h}}}_{jm}} $

其中, w^H_op表示w_op的共轭转置, w_op=R^-1r表示最优加权复系数向量, ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde h}}}_{jm}}$为主信道的估计矩阵。R和r中的元素分别为:

$ {\left[ \mathit{\boldsymbol{R}} \right]_{\varphi \vartheta }} = {J_0}\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_d}\left| {\varphi - \vartheta } \right|{L_{\rm{b}}}{T_{\rm{s}}}} \right) + \sigma _v^2\delta \left( {\varphi - \vartheta } \right) $

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_\varphi } = {J_0}\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_{\rm{d}}}\left| {D + \varphi - 1} \right|{L_{\rm{b}}}{T_{\rm{s}}}} \right) $

其中, φ, ϑ=1, 2, …, K, σ_v²为信道估计误差的方差。

由文献[14]可知, 预测的主信道增益与其真实值之间的关系为:

$ {h_{jm}}\left( {\alpha + D} \right) = \rho {{\hat h}_{jm}}\left( {\alpha + D} \right) + \sqrt {1 - {\rho ^2}} {n_{jm}}\left( {\alpha + D} \right) $

(1)

其中, $\rho = \sqrt {{\mathit{\boldsymbol{r}}^{\rm{H}}}{\mathit{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{r}}} $为预测信道增益与真实值之间的归一化功率相关系数, n_jm(α+D)为AWGN且服从CN(0, 1)分布。

1.4 天线选择OSTBC编码

主信道的天线选择OSTBC编码过程如下:

1) Bob通过观察导频符号并使用MMSE信道预测器得到预测的N_B×N_A维主信道矩阵:

$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat H}}}_{{\rm{AB}}}} = \left[ {{{\mathit{\boldsymbol{\hat h}}}_1},{{\mathit{\boldsymbol{\hat h}}}_2}, \cdots ,{{\mathit{\boldsymbol{\hat h}}}_{{N_{\rm{A}}}}}} \right] $

其中, ĥ_y(y=1, 2, …, N_A)表示矩阵Ĥ_AB的第y列。

2) Bob计算每一列的Frobenius范数并按降序排列得到矩阵H′_AB=[h′₁, h′₂, …, h′_NA]。采用‖·‖_F表示Frobenius范数, 则有‖h′₁‖_F≥‖h′₂‖_F≥…≥‖h′_NA‖_F。

3) Bob将H′_AB的前N_T列所对应的发射天线序号通过反馈链路反馈给Alice。

4) Alice根据收到的天线序号信息将对应的发射天线激活, 并对需要发送的安全信息符号进行天线数为N_T、码率为R的OSTBC编码。例如:当N_T=2时, 可采用码率R=1的G₂码; 当N_T=3时, 可采用R=1/2的G₃码或R=3/4的H₃码^[17]。

5) Alice将上述OSTBC码字安排在图 2所示的每帧的后L_b-N_A个符号周期内, 由选定的N_T根天线发送出去。

1.5 主信道和窃听信道SNR的PDF

设主信道每根接收天线上的平均信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)为γ_B, 令c=1/(RN_T), 根据文献[18]推导TASD/ OSTBC无线通信系统输出SNR的矩生成函数(Moment Generation Function, MGF)的步骤, Bob采用最大似然准则译码, 其MRC合并器输出的瞬时符号SNR的MGF为:

$ \begin{array}{l} {M_{\rm{B}}}\left( s \right) = {\mathit{\Sigma }_1}\left[ {{l_{{N_{\rm{T}}}}}!N_{\rm{T}}^{ - {l_{{N_{\rm{T}}}}} - 1}{{\left( {1 + c{{\bar \gamma }_\beta }s} \right)}^{ - {N_{\rm{T}}}{N_{\rm{B}}}}} + } \right.\\ \left. {{\mathit{\Sigma }_2}{{\left( {1 + c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}s\left( {1 - \rho } \right)} \right)}^{{a_{ni}}}}{{\left( {1 + c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}s} \right)}^{ - z}}{{\left( {1 + {v_i}s} \right)}^{ - r}}} \right] \end{array} $

(2)

$ {\mathit{\Sigma }_1} = {N_{\rm{T}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{\rm{A}}}}\\ {{N_{\rm{T}}}} \end{array}} \right)\sum\limits_l {t\left( {{N_{\rm{B}}};l} \right)/{{\left( {\Gamma \left( {{N_{\rm{B}}}} \right)} \right)}^{{N_{\rm{T}}}}}} \prod\limits_{u = 1}^{{N_{\rm{T}}} - 1} {\frac{{{l_u}!}}{{{u^{{l_{\rm{u}}}}}}}} $

(3)

$ {\mathit{\Sigma }_2} = \sum\limits_{i = 1}^{{N_{\rm{A}}} - {N_{\rm{T}}}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{\rm{A}}} - {N_{\rm{T}}}}\\ i \end{array}} \right)} {\left( { - 1} \right)^i}\sum\limits_{n \in \mathit{\Omega }} {\frac{{i!\left( {{a_{ni}} + {l_{{N_{\rm{T}}}}}} \right)!}}{{{c_{ni}}{b_{ni}}{{\left( {{N_{\rm{T}}} + i} \right)}^r}}}} $

(4)

其中, $t\left( {{N_{\rm{B}}};l} \right)$为多项式${\left( {\sum\limits_{i = 1}^{{N_{\rm{T}}}} {{x_i}} } \right)^{{N_{\rm{B}}} - 1}}{\left( {\sum\limits_{i = 2}^{{N_{\rm{T}}}} {{x_i}} } \right)^{{N_{\rm{B}}} - 1}} \cdots x_{{N_{\rm{T}}}}^{{N_{\rm{B}}} - 1}$中x₁^l₁x₂^l₂…x_NT^l_NT的系数, Γ(·)表示gamma函数, Ω表示满足$\sum\limits_{k = 0}^{{N_{\rm{B}}} - 1} {{n_k} = i} $的非负整数n₀, n₁, …, n_NB-1的集合, $d = \sum\limits_{u = 1}^{{N_{\rm{T}}} - 1} {{l_u}} , {a_{ni}} = \sum\limits_{k = 1}^{{N_{\rm{B}}} - 1} k {n_k}$, ${b_{ni}} = \prod\limits_{k = 1}^{{N_{\rm{B}}} - 1} {{{(k!)}^{{n_k}}}} $, c_ni=$\prod\limits_{k = 0}^{{N_{\rm{B}}} - 1} {(k!)} $, r=a_ni+l_NT+1, z=d+N_T-1, v_i=cγ_B[N_T+i(1-ρ)]/(N_T+i)。

对式(2)中含有s的项进行部分分式展开:

$ \begin{array}{l} \frac{{{{\left[ {1 + c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}s\left( {1 - \rho } \right)} \right]}^{{a_{ni}}}}}}{{{{\left( {1 + c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}s} \right)}^z}{{\left( {1 + {v_i}s} \right)}^r}}} = \\ \sum\limits_{p = 1}^z {\frac{{{A_p}}}{{{{\left( {1 + c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}s} \right)}^p}}}} + \sum\limits_{q = 1}^r {\frac{{{B_q}}}{{{{\left( {1 + {v_i}s} \right)}^q}}}} \end{array} $

(5)

$ {A_p} = \frac{{{{\left( {c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}} \right)}^{p - z}}}}{{\left( {z - p} \right)!}}\frac{{{\partial ^{z - p}}}}{{\partial {s^{z - p}}}}{\left[ {\frac{{{{\left( {1 + c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}s\left( {1 - \rho } \right)} \right)}^{{a_{ni}}}}}}{{{{\left( {1 + {v_i}s} \right)}^r}}}} \right]_{s = - 1/\left( {c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}} \right)}} $

(6)

$ {B_q} = \frac{{\left( {{{\left( {{v_i}} \right)}^{q - r}}{\partial ^{r - q}}} \right.}}{{\left( {r - q} \right)!\partial {s^{r - q}}}}{\left[ {\frac{{{{\left( {1 + c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}s\left( {1 - \rho } \right)} \right)}^{{a_{ni}}}}}}{{{{\left( {1 + c{\gamma _{\rm{B}}}s} \right)}^z}}}} \right]_{s = - 1/{v_i}}} $

(7)

将式(5)带入式(2), 利用拉普拉斯反变换1/(1+λs)^x↔1/(x-1)!λ^-xt^x-1exp(-t/λ), 经化简整理后可得TASP/OSTBC无线通信系统的主信道输出信噪比γ_B的概率密度函数(Probability Density Function, PDF)为:

$ \begin{array}{l} {f_{{\gamma _{\rm{B}}}}}\left( {{\gamma _{\rm{B}}}} \right) = {\mathit{\Sigma }_1}\left[ {\frac{{{l_{{N_{\rm{T}}}}}!}}{{N_{\rm{T}}^{{l_{{N_{\rm{T}}} + 1}}}}}g\left( {{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{B}}},c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}} \right) + } \right.\\ \;\;\;\;\left. {{\mathit{\Sigma }_2}\left( {\sum\limits_{p = 1}^z {{A_p}} \cdot g\left( {p,c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}} \right) + \sum\limits_{q = 1}^r {{B_q}} \cdot g\left( {q,{v_i}} \right)} \right)} \right] \end{array} $

(8)

$ g\left( {N,\mu } \right) = \gamma _{\rm{B}}^{N - 1}/\Gamma \left( N \right){\mu ^{ - N}}\exp \left( { - {\gamma _{\rm{B}}}/\mu } \right) $

(9)

设窃听信道每根接收天线上的平均SNR为γ_E, Eve在Alice发送数据的过程中进行被动窃听, 由于主信道最佳TAS与窃听信道无关, 因此对Eve而言相当于随机天线选择, 则Eve瞬时输出信噪比γ_E的PDF为^[19]:

$ {f_{\rm{E}}}\left( {{\gamma _{\rm{E}}}} \right) = \frac{{\gamma _{\rm{E}}^{{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}} - 1}}}{{\Gamma \left( {{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}}} \right)}}{\left( {c{{\bar \gamma }_{\rm{E}}}} \right)^{ - {N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}}}}\exp \left( { - \frac{{{\gamma _{\rm{E}}}}}{{\sigma {{\bar \gamma }_{\rm{E}}}}}} \right) $

(10)

2 安全性能分析

设主信道的容量为C_B=Rlb(1+γ_B), 窃听信道的容量为C_E=Rlb(1+γ_E), 则瑞利块衰落信道上TASP/OSTBC无线通信系统的安全容量为:

$ {C_{\rm{S}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{C_{\rm{B}}} - {C_{\rm{E}}},{\gamma _{\rm{B}}} > {\gamma _{\rm{E}}}}\\ {0,{\gamma _{\rm{B}}} \le {\gamma _{\rm{E}}}} \end{array}} \right. $

(11)

2.1 安全中断概率

TASP/OSTBC无线通信系统的安全中断概率可定义为系统的安全容量小于目标安全速率R_S的概率。由式(11)可知, TASP/OSTBC无线通信系统在以下2种情况下会发生安全中断:

1) 当γ_B≤γ_E时, 系统的安全容量为0。

2) 当γ_B>γ_E时, 系统的安全容量小于R_S。

因此, TASP/ OSTBC无线通信系统的安全中断概率可表示为^[9]:

$ \begin{array}{l} {P_{{\rm{out}}}}\left( {{R_{\rm{S}}}} \right) = \Pr\left\{ {{C_{\rm{S}}} < {R_{\rm{S}}}|{\gamma _{\rm{B}}} > {\gamma _{\rm{E}}}} \right\} \Pr \left\{ {{\gamma _{\rm{B}}} > {\gamma _{\rm{E}}}} \right\} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Pr\left\{ {{\gamma _{\rm{B}}} < {\gamma _{\rm{E}}}} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1 - \int_0^\infty {\int_{2\theta \left( {1 + {\gamma _{\rm{E}}}} \right) - 1}^\infty {{f_{\rm{B}}}\left( {{\gamma _{\rm{B}}}} \right){f_{\rm{E}}}\left( {{\gamma _{\rm{E}}}} \right){\rm{d}}{\gamma _{\rm{B}}}{\rm{d}}{\gamma _{\rm{E}}}} } \end{array} $

(12)

其中, Pr{·}表示概率, θ=R_S/R。

定义积分公式:

$ F\left( {N,\mu } \right) = \int_0^\infty {\int_{{2^\theta }\left( {1 + {\gamma _{\rm{E}}}} \right) - 1} g } \left( {N,\mu } \right){f_{\rm{E}}}\left( {{\gamma _{\rm{E}}}} \right){\rm{d}}{\gamma _{\rm{B}}}{\rm{d}}{\gamma _{\rm{E}}} $

(13)

利用文献[20]中的式(3.351.2):

$ \int_a^\infty {{x^b}} {{\rm{e}}^{ - \mu x}}{\rm{d}}x = {{\rm{e}}^{ - a\mu }}\sum\limits_{v = 0}^b {\frac{{b!{a^v}}}{{v!{\mu ^{b - v + 1}}}}} $

(14)

求解式(13), 经化简整理后可得式(15)。将式(8)、式(10)、式(15)代入式(12), 可得TASP/OSTBC无线通信系统的安全中断概率如式(16)所示。

$ F\left( {N,\mu } \right) = \\ \frac{{{{\left( {c{{\bar \gamma }_{\rm{E}}}} \right)}^{ - {N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}}}}}}{{\Gamma \left( {{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}}} \right)}}\exp \left( {\frac{{1 - {2^\theta }}}{\mu }} \right)\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {\frac{{{\mu ^{ - k}}}}{{k!}}} \sum\limits_{w = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} k\\ w \end{array}} \right)} {2^{w\theta }}{\left( {{2^\theta } - 1} \right)^{k - w}}\left( {{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}} + w - 1} \right)!{\left[ {1/\left( {c{{\bar \gamma }_{\rm{E}}}} \right) + {2^\theta }/\mu } \right]^{ - {N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}} - w}} $

(15)

$ \begin{array}{l} {P_{{\rm{out}}}}\left( {{R_{\rm{S}}}} \right) = 1 - \left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{N_{\rm{A}}}}\\ {{N_{\rm{T}}}} \end{array}} \right)\sum\limits_l {\frac{{{N_{\rm{T}}}t\left( {{N_B};l} \right)}}{{{{\left( {\Gamma \left( {{N_{\rm{B}}}} \right)} \right)}^{{N_{\rm{T}}}}}}}} \prod\limits_{u = 1}^{{N_{\rm{T}}} - 1} {\frac{{{l_u}!}}{{{u^{{l_u}}}}}} \left[ {\frac{{{l_{{N_{\rm{T}}}}}!}}{{N_{\rm{T}}^{{l_{{N_{\rm{T}}}}} + 1}}}F\left( {{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{B}}},c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}} \right) + } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\sum\limits_{i = 1}^{{N_\Lambda } - {N_{\rm{T}}}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{\rm{A}}} - {N_{\rm{T}}}}\\ i \end{array}} \right)} {{\left( { - 1} \right)}^i}\sum\limits_{n \in \mathit{\Omega }} {\frac{{i!\left( {{a_{ni}} + {l_{{N_{\rm{T}}}}}} \right)!}}{{{c_{ni}}{b_{ni}}{{\left( {{N_{\rm{T}}} + i} \right)}^r}}}\left( {\sum\limits_{p = 1}^z {{A_p}} \cdot F\left( {p,c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}} \right) + \sum\limits_{q = 1}^r {{B_q}} \cdot F\left( {q,{v_i}} \right)} \right)} } \right] \end{array} $

(16)

由式(16)可知, TASP/OSTBC无线通信系统的安全中断概率与主信道收发天线数、窃听者天线数、归一化反馈延时和目标安全速率等参数有关。本文考虑2种特殊情况:

1) 当N_T=2, τ=0时, 式(16)即为文献[7]中理想CSI下TAS/MRC无线通信系统的安全中断概率表达式。

2) 当N_T=N_A, τ=0时, 式(16)即为文献[21]中理想CSI下STBC无线通信系统的安全中断概率表达式。

因此, 式(16)的结果更具一般性。

2.2 非零安全容量概率

TASP/OSTBC无线通信系统的非零安全容量概率(安全容量大于0的概率)可表示为^[10]:

$ {P_{{\rm{non}}}} = 1 - \int_0^\infty {\int_{{\gamma _{\rm{B}}}}^\infty {{f_{\rm{B}}}} } \left( {{\gamma _{\rm{B}}}} \right){f_{\rm{E}}}\left( {{\gamma _{\rm{E}}}} \right){\rm{d}}{\gamma _{\rm{E}}}{\rm{d}}{\gamma _{\rm{B}}} $

(17)

将式(8)和式(10)带入式(17), 并定义积分式:

$ G\left( {N,\mu } \right) = \int_0^\infty {\int_{{\gamma _{\rm{B}}}}^\infty g } \left( {N,\mu } \right)\gamma _{\rm{E}}^{{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}} - 1}\exp \left( { - \frac{{{\gamma _{\rm{E}}}}}{{c{{\bar \gamma }_{\rm{E}}}}}} \right){\rm{d}}{\gamma _{\rm{E}}}{\rm{d}}{\gamma _{\rm{B}}} $

(18)

采用与式(13)同样的推导过程, 经化简整理后可得:

$ \begin{array}{l} G\left( {N,\mu } \right) = \sum\limits_{k = 0}^{{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}} - 1} {{\mu ^{ - N}}} {\left( {c{\gamma _{\rm{E}}}} \right)^{ - k}}/[k!(N - 1)!](N + k - 1)!\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {1/\left( {c{{\bar \gamma }_{\rm{E}}}} \right) + (1/\mu )} \right]^{ - N - k}} \end{array} $

(19)

将式(19)代入式(17), 可得TASP/OSTBC无线通信系统的非零安全容量概率的表达式为:

$ \begin{array}{l} {P_{{\rm{non}}}} = 1 - {\mathit{\Sigma }_1}\left[ {\frac{{{l_{{N_{\rm{T}}}}}!}}{{N_{\rm{T}}^{{l_{{N_{\rm{T}}} + 1}}}}}G\left( {{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{B}}},c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}} \right) + } \right.\\ \left. {{\mathit{\Sigma }_2}\left( {\sum\limits_{p = 1}^z {{A_p}} G\left( {p,c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}} \right) + \sum\limits_{q = 1}^r {{B_q}} \cdot G\left( {q,{v_i}} \right)} \right)} \right] \end{array} $

(20)

将式(16)和式(20)中的ρ用J₀(2πf_dτ)代替, 即可得到TASD/OSTBC无线通信系统的安全中断概率和非零安全容量概率的表达式。若某方法可以获得比其他方法更高的非零安全容量概率, 即可认为该方法可以使无线通信系统获得更好的物理层安全性能。

2.3 渐近安全中断概率

由于式(16)的安全中断概率表达式在形式上过于复杂, 无法直观地看出主信道收发天线数、窃听者天线数和归一化反馈延时等参数对TASP/OSTBC无线通信系统安全中断概率的影响, 特别是无法直接反映安全中断概率随主信道平均信噪比的变化趋势。采用渐近安全中断概率进行性能评估, 则可以解决上述问题。

由文献[9]可知, 渐近安全中断概率公式如式(21)所示。

$ P_{{\rm{out}}}^\infty \left( {{R_{\rm{S}}}} \right) = {\left( {{G_{\rm{a}}}{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}} \right)^{ - {G_{\rm{d}}}}} + o\left( {\bar \gamma _{\rm{B}}^{ - {G_{\rm{d}}}}} \right) $

(21)

其中:G_d为安全分集增益, 反映了安全中断概率随主信道平均信噪比变化的快慢, 表现为曲线的斜率; G_a为安全阵列增益, 反映了相较于参考曲线γ_B^-G_d的SNR增益; o(·)表示高阶无穷小项。下文将对τ=0和τ≠0两种情形分别进行分析。

情形1  τ=0。将文献[22]中的式(21)和式(22)代入文献[18]中的式(8), 令U=N_B(N_A-N_T)+l_NT+1, 推导出理想CSI下TASP/OSTBC无线通信系统γ_B的MGF的渐近表达式为:

$ M_{\rm{B}}^\infty \left( s \right) = {\mathit{\Sigma }_1}\frac{{\Gamma (U){{\left( {{N_{\rm{B}}}!} \right)}^{{N_{\rm{T}}} - {N_{\rm{A}}}}}}}{{N_{\rm{T}}^U{{\left( {c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}s} \right)}^{{N_{\rm{A}}}{N_{\rm{B}}}}}}} + o\left( {{s^{ - {N_{\rm{A}}}{N_{\rm{B}}}}}} \right) $

(22)

利用拉普拉斯反变换1/(s-a)ⁿ⁺¹↔tⁿe^at/n!, 求得γ_B的渐进PDF后代入式(12), 经化简整理后可得理想CSI下TASP/OSTBC无线通信系统的安全分集增益G_d=N_AN_B, 安全阵列增益G_a=Υ₁^-1/G_d, Υ₁的表达式为:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\Upsilon}} _1} = {\mathit{\Sigma }_1}\frac{{\Gamma (U)}}{{N_{\rm{T}}^U}}{{\left( {{N_{\rm{B}}}!} \right)}^{{N_{\rm{T}}} - {N_{\rm{A}}}}}\sum\limits_{k = 0}^{{G_{\rm{d}}}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_{\rm{d}}}}\\ k \end{array}} \right)} {{\left( {\frac{{{2^\theta } - 1}}{c}} \right)}^{{G_{\rm{d}}} - k}}{2^{k\theta }} \cdot }\\ {\bar \gamma _{\rm{E}}^k\Gamma \left( {{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}} + k} \right)/\left[ {{G_{\rm{d}}}!\Gamma \left( {{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}}} \right)} \right]} \end{array} $

(23)

情形2  τ≠0。由文献[18]中的式(16)可得反馈延时下TASP/OSTBC无线通信系统γ_B的MGF与理想CSI下γ_B的MGF的关系式为:

$ \tilde M_{\rm{B}}^\infty \left( s \right) = \frac{{M_{\rm{B}}^\infty \left( {\rho s/\left[ {1 + c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}s\left( {1 - \rho } \right)} \right]} \right)}}{{{{\left[ {1 + c{{\bar \gamma }_{\rm{B}}}s\left( {1 - \rho } \right)} \right]}^{{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{B}}}}}}} $

(24)

将式(22)代入式(24)可得反馈延时下TASP/OSTBC无线通信系统γ_B的渐近MGF。采用与τ=0同样的推导过程, 经整理后可得反馈延时下TASP/OSTBC无线通信系统的安全分集增益G_d=N_TN_B, 安全阵列增益G_a=Υ₂^-1/G_d, Υ₂的表达式为:

$ \begin{array}{l} {{\mathit{\Upsilon}} _2} = {\mathit{\Sigma }_1}\frac{{\Gamma (U)}}{{N_{\rm{T}}^U}}\frac{{{{\left( {1 - \rho } \right)}^{{N_{\rm{B}}}{N_{\rm{A}}}}} - {G_{\rm{d}}}}}{{{{\left( {{N_{\rm{B}}}!} \right)}^{{N_{\rm{A}}} - {N_{\rm{T}}}}}{\rho ^{{N_{\rm{A}}}{N_{\rm{B}}}}}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{k = 0}^{{G_{\rm{d}}}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_{\rm{d}}}}\\ k \end{array}} \right)} {\left( {\frac{{{2^\theta } - 1}}{c}} \right)^{{G_{\rm{d}}} - k}}\frac{{{2^{k\theta }}\bar \gamma _{\rm{E}}^k\Gamma \left( {{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}} + k} \right)}}{{{G_{\rm{d}}}!\Gamma \left( {{N_{\rm{T}}}{N_{\rm{E}}}} \right)}} \end{array} $

(25)

经上述分析可知, 在理想CSI下TASP/OSTBC无线通信系统的安全分集增益为发射端天线数与合法接收端天线数的乘积N_AN_B。由于反馈延时的存在, 使得系统的安全分集增益降为选择的发射天线数与合法接收端天线数的乘积N_TN_B, 且与窃听信道、归一化反馈延时等参数无关。安全阵列增益G_a反映了采用MMSE信道预测器对TASP/OSTBC无线通信系统物理层安全性能的影响。

将式(23)和式(25)中的ρ用J₀(2πf_dτ)代入即可得到TASD/OSTBC无线通信系统分别在上述2种情形下的安全阵列增益表达式。

3 数值计算与仿真

本文利用MATLAB软件, 以表 1所示的参数设置为例对TASP/OSTBC无线通信系统物理层安全性能进行数值计算和计算机仿真。如无特殊说明, Alice均选择2根天线发送信息符号, 即Alice采用G₂空时分组码。

当N_B=N_E=2时, 在不同f_dτ下TASP/OSTBC与TASD/OSTBC无线通信系统的安全阵列增益曲线如图 3所示。由图 3可知, 在相同f_dτ下, TASP/OSTBC无线通信系统的安全阵列增益值始终大于TASD/OSTBC无线通信系统。当f_dτ=10^-1时, TASP较TASD方案安全阵列增益高约9.3 dB。由此表明, MMSE信道预测器通过获得较大的安全阵列增益来改善反馈延时对无线通信系统物理层安全性能的影响。

当N_B=2时, 不同N_E和f_dτ下TASP/OSTBC无线通信系统的非零安全容量概率曲线如图 4所示。由图 4可知, 在相同f_dτ下, 增加窃听者天线数提高了窃听者的接收分集增益, 导致TASP/OSTBC无线通信系统的非零安全容量概率变小, 降低了系统的安全性能。当N_E一定时, 非零安全容量概率随归一化延时f_dτ的减小而增大, 这是因为f_dτ越小越接近理想主信道CSI的情况, 所以可以获得更好的安全性能。如当非零安全容量概率为10^-2, N_E=4时, f_dτ=0.4较f_dτ=1.0有约0.3 dB的SNR增益。

当N_E=2时, 在不同N_B和f_dτ下TASP/OSTBC与TASD/OSTBC无线通信系统的安全中断概率曲线如图 5所示。由图 5可知, 安全中断概率的数值计算与仿真结果相吻合, 这表明理论推导的准确性。在相同f_dτ下, TASP/OSTBC与TASD/OSTBC无线通信系统的安全中断概率均随接收天线数N_B的增加而减小, 这是由于增加了合法接收分集增益, 从而提高了系统的安全性能。在相同N_B和f_dτ下, TASP/OSTBC无线通信系统具有更低的安全中断概率, 即具有更好的物理层安全性能。如当安全中断概率在10^-6, f_dτ=0.3, N_B=2时, TASP/OSTBC较TASD/OSTBC无线通信系统有约2.6 dB的SNR增益。

当f_dτ=0.5, N_B=N_E=2时, TASP/MRC与TASP/OSTBC无线通信系统的安全中断概率曲线如图 6所示。

由图 6可知, 渐近线在主信道SNR较高的情况下能够较好地接近精确值, 这证明了渐近推导的准确性。随着γ_B的逐渐增大, TASP/OSTBC无线通信系统的物理层安全性能逐渐优于TASP/MRC无线通信系统。这是由于在反馈延时下, TASP/MRC无线通信系统的安全分集增益为N_B, 而TASP/OSTBC无线通信系统的安全分集增益为N_TN_B, 因此TASP/OSTBC无线通信系统具有更大的安全性能优势。如当安全中断概率为10^-3时, TASP/OSTBC较TASP/MRC无线通信系统有约6.7 dB的SNR增益。

4 结束语

本文采用MMSE信道预测器提高TASD/OSTBC无线通信系统的物理层安全性能, 通过理论推导非零安全容量概率、安全中断概率以及渐近安全中断概率的精确解析表达式, 分析得到系统的安全分集增益和安全阵列增益。数值计算和仿真结果表明, 该方案可以通过增大系统的安全阵列增益来改善反馈延时对其物理层安全性能的影响, 即增大接收端天线数、减小窃听者天线数等措施都将提高TASP/OSTBC无线通信系统的物理层安全性能, 并且在反馈延时下采用OSTBC可以获得部分发射分集增益。下一步将考虑节点距离对系统物理层安全性能的影响, 此外, 将该方案运用到大规模MIMO协作中继网络等更加复杂的通信系统中也是未来研究方向。