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0 概述

随着移动互联网和人工智能技术的迅速发展，大量移动终端投入使用，无线通信设备数量爆发式增长，这使得无线电频谱成为一种稀缺资源。目前，认知无线电被普遍认为是一种能够有效利用无线频谱的方法^[1]。在对主用户通信不造成干扰的情况下，允许次用户机会接入合法信道，能够实现认知无线电网络(Cognitive Radio Network，CRN)的频谱共享^[2]。此外，安全性对于无线通信系统十分重要，而窃听和干扰是无线通信网络信息安全问题中最常见的两种威胁^[3]。为实现物理层安全通信，研究者提出了多种方法。文献[4]研究基于中继信道的认知中继协作(Cognitive Relay Collaboration，CRC)无线通信系统，以解码转发(Decode and Forward，DF)中继协助认知源和目标之间的通信。文献[5]针对受窃听威胁的DF中继网络研究高能效物理层安全传输技术。文献[6]研究CRN物理层安全方案，提出一种合作干扰策略，即向干扰窃听者发送干扰噪声来提高主用户的保密率。文献[7]设计一种人工噪声辅助的二次传输策略，解决了主次链路联合保密率最大化问题。文献[8]研究对多个窃听者场景的扩展，进一步提升了二次系统的安全保密率。

由于无人机(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)具有可悬停、灵活性、易于部署等优点，因此近年来UAV辅助的无线通信技术被广泛研究，而且由于与地面用户视距(Line of Sight，LoS)连接的概率很高，因此UAV通常具有较好的空对地信道^[9-11]。与地面无线信道相比，LoS链路信道使UAV与窃听者之间的信道功率增益更易获得。文献[12]指出LoS链路信道只取决于UAV和窃听者之间的距离，而窃听者的位置是可以被探测到的，并且该信道受地面衰落和阴影的影响较小，从而使干扰更有效。目前已有大量的研究工作针对UAV通信提出了一系列优化方案。文献[13-14]研究了移动中继技术在安全传输中的应用，通过联合优化UAV飞行轨迹和源/中继发射功率，最大限度地提高了系统的安全性和吞吐量。文献[15]研究协同干扰UAV的安全通信问题，将原问题分解为多个子问题，然后使用凸逼近技术求解每个子问题，但这种方法的收敛速度较慢。文献[16]指出在UAV辅助移动中继系统中信道设计是提高系统保密性的关键，并提出一种联合UAV轨迹设计和功率控制的方法。文献[17]介绍一种新型的认知UAV与地面无线通信系统的频谱共享方案。文献[18]优化了UAV的发射功率和飞行轨迹，提出一种基于块坐标下降法和连续凸优化的迭代算法，但并没有考虑中继协作UAV通信的策略。

本文研究窃听威胁下DF中继协同UAV辅助的CRN物理层安全传输技术。通过联合优化传输功率与UAV飞行轨迹，构造保密率最大化问题。由于所构造问题是非凸的，因此采用一个低计算复杂度的内近似(Inner Approximation，IA)算法^[19]，该算法可优化一系列的凸逼近程序，也可优化非线性程序。此外，与放大转发(Amplify and Forward，AF)中继相比，DF中继可去除源发送信号中的噪声，从而抑制噪声的扩散，有效提高UAV通信系统的安全保密率。

1 系统模型

本文考虑DF中继CRN系统在窃听模型下的物理层安全问题。如图 1所示，该系统由1个二次发射机(Secondary Transmitter，ST)、1个二次接收机(Secondary Receiver，SR)、1个DF中继器(R)和1个监听器(Eve)组成，并且存在1个主接收机(Primary Receive，PR)。系统在半双工模式下运行，除中继外所有地面节点均配备一个天线。本文假设所有地面节点的位置是固定已知的。在这个二次系统中，ST协同中继节点R向目的接收机发送机密消息。同时在此传输过程中，一个外部的窃听者Eve试图窃听和解码这些机密信息。为提高CRN物理层的安全性，UAV被用作移动干扰器发送干扰噪声，以降低Eve的解码能力。

将ST、SR、PR、R、Eve在三维空间中的位置分别表示为$ \left({x}_{\mathrm{S}\mathrm{T}}, {y}_{\mathrm{S}\mathrm{T}}, 0\right) $、$ \left({x}_{\mathrm{S}\mathrm{R}}, {y}_{\mathrm{S}\mathrm{R}}, 0\right) $、$ \left({x}_{\mathrm{P}\mathrm{R}}, {y}_{\mathrm{P}\mathrm{R}}, 0\right) $、$ \left(\mathrm{0, 0}, 0\right) $和$ \left({x}_{\mathrm{E}\mathrm{v}\mathrm{e}}, {y}_{\mathrm{E}\mathrm{v}\mathrm{e}}, 0\right) $。假设UAV从给定的初始位置$ {q}_{0} $飞行到最终位置$ {q}_{\mathrm{F}} $，并在给定的飞行周期$ T $内以恒定的高度$ H $在地面上水平飞行。将UAV的飞行时间$ T $离散为$ N $个等间隔的时隙，每个时隙为$ {\delta }_{t}=T/N $。为保证UAV在每个时隙内位置的近似不变性，选择足够小的时隙长度。$ {q}_{0} $和$ {q}_{\mathrm{F}} $坐标分别为$ \left({x}_{0}, {y}_{0}, H\right) $和$ \left({x}_{\mathrm{F}}, {y}_{\mathrm{F}}, H\right) $。将时变坐标定义为$ q\left[ n \right]\triangleq \left(x\left[ n \right], y\left[ n \right], H\right), n\in N\triangleq $ $ \left\{\left.\mathrm{1, 2}, \cdot \cdot \cdot , N\right\}\right. $，此处固定高度可以避免UAV升降时不必要的能耗。UAV满足以下移动性限制：

$ \begin{array}{l}{‖q\left[n+1\right]-q\left[ n \right]‖}^{2}\le {L}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{2}, n=\mathrm{1, 2}\cdots , N-1\\ {‖q\left[1\right]-q\left[0\right]‖}^{2}\le {L}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{2}, \forall n\\ q\left[N\right]={q}_{\mathrm{F}}\end{array} $

(1)

其中，$ {L}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}={V}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\delta }_{t} $，$ {V}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} $是UAV的最大飞行速度，$ {L}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} $是UAV在每个时隙内飞行的最大水平距离。对于空对地信道，由于UAV和所有地面用户之间的传输条件可以近似为自由空间，当UAV放置在固定高度并且LoS概率接近于1时，采用自由空间路径损耗模型，其中UAV地面信道由LoS链路控制。在本文中，UAV到所有地面节点(R、SR、PR、Eve)的信道功率增益用$ \left({g}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}, {g}_{\mathrm{U}\mathrm{S}}, {g}_{\mathrm{U}\mathrm{P}}, {g}_{\mathrm{U}\mathrm{E}}\right) $表示，在时隙$ n $处信道功率增益遵循$ {g}_{\mathrm{U}i}={\rho }_{0}{d}_{\mathrm{U}i}^{-2}\left[ n \right], i\in \left\{\left.\mathrm{R}, \mathrm{S}\mathrm{R}, \mathrm{P}\mathrm{R}, \mathrm{E}\mathrm{v}\mathrm{e}\right\}\right., n\in N $，其中，$ {\rho }_{0} $表示参考距离为$ d=1 $ m时的信道功率增益，$ {\mathrm{d}}_{\mathrm{U}i}\left[ n \right]=\sqrt{{\left({x}_{i}-x\left[ n \right]\right)}^{2}+{\left({y}_{i}-y\left[ n \right]\right)}^{2}+{H}^{2}}, i\in $ $ \left\{\left.\mathrm{R}, \mathrm{S}\mathrm{R}, \mathrm{P}\mathrm{R}, \mathrm{E}\mathrm{v}\mathrm{e}\right\}\right. $是在时隙$ n $处UAV与地面节点之间的距离。地面信道链路都假定为独立的Rayleigh衰减，$ {h}_{k}={\rho }_{0}{d}_{k}^{-\phi }{\psi }_{k}, k\in \left\{\left.\mathrm{S}\mathrm{R}, \mathrm{R}\mathrm{P}, \mathrm{R}\mathrm{S}, \mathrm{R}\mathrm{E}\right\}\right. $，其中，$ {\psi }_{k} $表示路径损耗指数，$ \phi $是指数分布的单位均值随机变量。功率信道增益从ST到R和R到PR、SR、Eve分别由$ {h}_{\mathrm{S}\mathrm{R}} $、$ {h}_{\mathrm{R}\mathrm{P}} $、$ {h}_{\mathrm{R}\mathrm{S}} $和$ {h}_{\mathrm{R}\mathrm{E}} $表示，而$ {p}_{\mathrm{S}}\left[ n \right] $、$ {P}_{\mathrm{R}}\left[ n \right] $和$ {p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right] $分别表示ST、R和UAV在时隙$ n $处的信号发送功率。对于功率约束，假设$ {\overline{p}}_{\mathrm{S}}\le {p}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} $，$ {\overline{p}}_{\mathrm{R}}\le {p}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} $和$ {\overline{p}}_{\mathrm{U}}\le {p}_{\mathrm{U}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} $，平均功率$ {\overline{p}}_{\mathrm{S}} $和峰值功率$ {p}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} $预算如下：

$ \begin{array}{l}\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}{p}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]\le {\overline{p}}_{\mathrm{S}}, 0\le {p}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]\le {p}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ \frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}{p}_{\mathrm{R}}\left[ n \right]\le {\overline{p}}_{\mathrm{R}}, 0\le {p}_{\mathrm{R}}\left[ n \right]\le {p}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ \frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]\le {\overline{p}}_{\mathrm{U}}, 0\le {p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]\le {p}_{\mathrm{U}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array} $

(2)

此简化系统模型采用DF方案。R将接收到的信号从ST转发到每个接收端，假设由于严重的阴影和路径损耗，ST和目标终端之间没有直连链路，所有的信息传输都需要R的配合，即通信在2个时隙内进行。

在第1个时隙中，ST发送机密信息信号$ x\left(\mathrm{E}\left\{\left.{\left|x\right|}^{2}\right\}\right.=1\right) $，其中，$ \mathrm{E}\left[\cdot \right] $为期望运算符。ST的发送功率必须保证R能够正确解码，并且只有在第1个时隙中成功解码的R才能在第2个时隙中再生和传输信息。本文假设R使用的是与ST相同的码字，并以$ {P}_{\mathrm{R}} $作为R的发送功率。此外，为便于计算和理解，假定ST和R的发射功率相同。因此，在第1个时隙，R处接收到的信号如式(3)所示，ST到R的链路之间的信息传输速率如式(4)所示：

$ {y}_{\mathrm{R}}=\sqrt{{p}_{\mathrm{S}}}{h}_{1}x+{n}_{\mathrm{R}}+{n}_{\mathrm{U}\mathrm{R}} $

(3)

$ {r}_{1}=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{{p}_{\mathrm{S}}{h}_{\mathrm{S}\mathrm{R}}}{{n}_{\mathrm{R}}^{2}+{n}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{2}}\right) $

(4)

在第2个时隙，PR、SR和Eve处接收的信号分别表示为：

$ {y}_{\mathrm{P}}=\sqrt{{p}_{\mathrm{R}}}{h}_{2}x+{n}_{\mathrm{P}\mathrm{R}}+{n}_{\mathrm{U}\mathrm{P}} $

(5)

$ {y}_{\mathrm{S}}=\sqrt{{p}_{\mathrm{R}}}{h}_{3}x+{n}_{\mathrm{S}\mathrm{R}}+{n}_{\mathrm{U}\mathrm{S}} $

(6)

$ {y}_{\mathrm{E}}=\sqrt{{p}_{\mathrm{R}}}{h}_{4}x+{n}_{\mathrm{E}\mathrm{v}\mathrm{e}}+{n}_{\mathrm{U}\mathrm{E}} $

(7)

R和PR、SR、Eve链路之间的瞬时传输速率分别表示为：

$ {r}_{2}=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{{p}_{\mathrm{R}}{h}_{\mathrm{R}\mathrm{P}}}{{n}_{\mathrm{P}\mathrm{R}}^{2}+{n}_{\mathrm{U}\mathrm{P}}^{2}}\right) $

(8)

$ {r}_{3}=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{{p}_{\mathrm{R}}{h}_{\mathrm{R}\mathrm{S}}}{{n}_{\mathrm{S}\mathrm{R}}^{2}+{n}_{\mathrm{U}\mathrm{S}}^{2}}\right) $

(9)

$ {r}_{4}=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{{p}_{\mathrm{R}}{h}_{\mathrm{S}\mathrm{E}}}{{n}_{\mathrm{E}\mathrm{v}\mathrm{e}}^{2}+{n}_{\mathrm{U}\mathrm{E}}^{2}}\right) $

(10)

以${\mathit{\boldsymbol{h}}_1} \sim {\mathit{\boldsymbol{h}}_4}$表示ST到R和R到PR、SR、Eve的信道增益矢量，$ {n}_{x}, x\in \left\{\left.\mathrm{R}, \mathrm{P}\mathrm{R}, \mathrm{S}\mathrm{R}, \mathrm{E}\mathrm{v}\mathrm{e}\right\}\right. $分别表示接收机处的加性白噪声且$ {n}_{x}\sim \mathrm{C}\mathrm{N}\left(0, {\sigma }^{2}\right) $，$ {n}_{\mathrm{U}j}, j\in \left\{\left.\mathrm{R}, \mathrm{P}, \mathrm{S}, \mathrm{E}\right\}\right. $为UAV发送的干扰噪声信号，则在式(10)中，$ {h}_{\mathrm{S}\mathrm{R}}={\left|{\mathit{\boldsymbol{h}}}_{1}\right|}^{2}, $ $ {h}_{\mathrm{R}\mathrm{P}}={\left|{\mathit{\boldsymbol{h}}}_{2}\right|}^{2}, {h}_{\mathrm{R}\mathrm{S}}={\left|{\mathit{\boldsymbol{h}}}_{3}\right|}^{2}, {h}_{\mathrm{R}\mathrm{E}}={\left|{\mathit{\boldsymbol{h}}}_{4}\right|}^{2} $。同时，以$ {\sigma }^{2} $表示所有接收机的加性高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise，AWGN)功率。

在DF方案中，$ \mathrm{S}\mathrm{T}\to \mathrm{R}\to \mathrm{S}\mathrm{R} $链路和$ \mathrm{S}\mathrm{T}\to \mathrm{R}\to \mathrm{E}\mathrm{v}\mathrm{e} $链路的平均速率分别表示为：

$ {R}_{\mathrm{S}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({r}_{1}, {r}_{3}\right)=\mathrm{E}\left\{\left.\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{{p}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]{h}_{\mathrm{S}\mathrm{R}}}{{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]{g}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}\left[ n \right]+{\sigma }^{2}}\right)\right\}\right. $

(11)

$ {R}_{\mathrm{E}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({r}_{1}, {r}_{4}\right)=\mathrm{E}\left\{\left.\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{{p}_{\mathrm{R}}\left[ n \right]{h}_{\mathrm{R}\mathrm{E}}}{{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]{g}_{\mathrm{U}\mathrm{E}}\left[ n \right]+{\sigma }^{2}}\right)\right\}\right. $

(12)

同理，$ \mathrm{S}\mathrm{T}\to \mathrm{R}\to \mathrm{P}\mathrm{R} $链路的平均速率表示为：

$ {R}_{\mathrm{P}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({r}_{1}, {r}_{2}\right)=\mathrm{E}\left\{\left.\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{{p}_{\mathrm{R}}\left[ n \right]{h}_{\mathrm{R}\mathrm{P}}}{{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]{g}_{\mathrm{U}\mathrm{P}}\left[ n \right]+{\sigma }^{2}}\right)\right\}\right. $

(13)

因此，二次系统在整个时隙上的平均保密率可以定义为：

$ {R}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}\triangleq \frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{{\mathrm N}}{\left[{R}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]-{R}_{\mathrm{E}}\left[ n \right]\right]}^{+} $

(14)

其中，$ {\left[x\right]}^{+}\triangleq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\left.0, x\right\}\right. $。由于式(14)所示目标函数中的每个求和项在最优解时必须是非负的，因此省略了$ {\left[\cdot \right]}^{+} $运算。

2 问题描述 2.1 优化问题构造

本文的研究目标是最大程度地提高CRN系统的平均保密率，同时需要满足PR的平均干扰功率约束和发射功率约束。通过联合优化UAV飞行轨迹$ q $和发射功率$ p\triangleq {\left\{\left.{p}_{\mathrm{S}}\left[ n \right], {p}_{\mathrm{R}}\left[ n \right], {p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]\right\}\right.}_{n\in N} $，二次系统的平均保密率问题可表述为问题1：

$ \underset{p, q}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{R}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}} $

(15)

$ {\rm{s}}.{\rm{t}}.式(1)，式(2) $

(16)

$\frac{1}{N}\sum\limits_{n \in N} {\left( {{\rm{E}}\left\{ {\left. {{p_{\rm{R}}}\left[ n \right]{h_{{\rm{RP}}}}} \right\}} \right. + {p_{\rm{U}}}\left[ n \right]{h_{{\rm{UP}}}}\left[ n \right]} \right)} \le \varepsilon $

(17)

值得注意的是，由于上式是关于$ p $和$ q $非凸性的目标函数，因此问题1仍难以解决。为简化问题，推导一个可达到的保密率的下界，其中，$ {R}_{\mathrm{S}}\left[ n \right] $和$ {R}_{\mathrm{E}}\left[ n \right] $分别被它们的上下界所代替。为使问题1更易于解决，对式(15)和式(17)以地面信道进行分析。根据Jensen不等式的凸性，并利用$ \mathrm{l}\mathrm{n}\left(1+{\mathrm{e}}^{x}\right) $不等式，可得到$ {R}_{\mathrm{S}}\left[ n \right] $的下界：

$ {R}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]\ge {R}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{L}}\left[ n \right]=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{{\mathrm{e}}^{-k}{r}_{0}{d}_{\mathrm{S}\mathrm{R}}^{-\phi }{p}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]}{{r}_{0}{d}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{-2}{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]+1}\right) $

(18)

其中，$ {r}_{0}\triangleq {\rho }_{0}/{\sigma }^{2} $，$ k $是欧拉常数。由于函数$ \mathrm{l}\mathrm{n}\left(1+x\right) $具有凹性，因此$ {R}_{\mathrm{E}}\left[ n \right] $的上界为：

$ {R}_{\mathrm{E}}\left[ n \right]\le {R}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{U}}\left[ n \right]=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+\frac{{r}_{0}{d}_{\mathrm{R}\mathrm{E}}^{-\phi }{p}_{\mathrm{R}}\left[ n \right]}{{r}_{0}{d}_{\mathrm{U}\mathrm{E}}^{-2}{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]+1}\right) $

(19)

式(17)所示约束条件可以等价为：

$ \frac{1}{N}\sum\limits_{n\in N}\left({\rho }_{0}{d}_{\mathrm{R}\mathrm{P}}^{-\phi }{p}_{\mathrm{R}}\left[ n \right]+{\rho }_{0}{d}_{\mathrm{U}\mathrm{P}}^{-2}{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]\right)\le \varepsilon $

(20)

其中，${\mathrm{E}}\left\{ {\left. {{p_{\mathrm{R}}}\left[ n \right]{h_{{\mathrm{RP}}}}} \right\}} \right.{\mathrm{ = }}{\rho _{\mathrm{0}}}d_{{\mathrm{RP}}}^{{\mathrm{ - 2}}}{p_{\mathrm{R}}}\left[ n \right]$。

由式(18)~式(20)可得到问题2：

$ \underset{p, q}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{R}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{\mathrm{L}}\triangleq \frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}\left[{R}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{L}}\left[ n \right]-{R}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{U}}\left[ n \right]\right] $

(21)

$ \mathrm{s}.\mathrm{t}.式(1)，式(2)，式(20) $

(22)

尽管问题2较问题1更易于处理，但对于$ p $和$ q $而言，该问题仍然是非凸性的，很难得到最优解。因此，本文采用一种基于IA方法的高效迭代算法得到其次优解。

2.2 基于凸逼近法的改进算法

本节应用低复杂度的IA方法^[20]求解问题2，该问题可以等价转化为如下所示的问题3，由此揭示其隐含的凸性。

$ \underset{p, q, r}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{R}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{\mathrm{L}}\triangleq \frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}\left({r}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]-{r}_{\mathrm{E}}\left[ n \right]\right) $

(23)

$ \mathrm{s}.\mathrm{t}.式(1)，式(2)，式(20) $

(24)

$ {R}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{L}}\left[ n \right]\ge {r}_{\mathrm{S}}\left[ n \right] $

(25)

$ {R}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{L}}\left[ n \right]\le {r}_{\mathrm{E}}\left[ n \right] $

(26)

其中，$ r\triangleq {\left\{\left.{r}_{\mathrm{S}}\left[ n \right], {r}_{\mathrm{E}}\left[ n \right]\right\}\right.}_{n\in N} $为新引入的变量。显然，式(23)所示目标函数是线性函数。因此，重点处理式(25)、式(26)和式(20)所示非凸性约束条件，具体如下：

1) 引入新变量$ {z}_{\mathrm{R}}\left[ n \right] $和$ {t}_{\mathrm{S}}\left[ n \right] $来凸优化式(25)，并将式(25)重写为：

$ {R}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{L}}\left[ n \right]\ge \mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+{t}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]\right)\ge {r}_{\mathrm{S}}\left[ n \right] $

(27)

$ \frac{{\mathrm{e}}^{-k}{r}_{0}{d}_{\mathrm{S}\mathrm{R}}^{-\phi }{p}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]}{{r}_{0}{z}_{\mathrm{S}}{\left[ n \right]}^{-1}{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]+1}\ge {t}_{\mathrm{S}}\left[ n \right] $

(28)

$ {\left({x}_{\mathrm{R}}-x\left[ n \right]\right)}^{2}+{\left({y}_{\mathrm{R}}-y\left[ n \right]\right)}^{2}+{H}^{2}\ge {z}_{\mathrm{R}}\left[ n \right] $

(29)

式(25)所示的约束条件和式(27)~式(29)具有相同的最优解。使用$ \mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+{t}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]\right) $的一阶近似值来近似式(25)在迭代算法第i次迭代时$ {{t}_{S}}^{\left(i\right)}\left[ n \right] $点处的值^[21]：

$ {R}_{\mathrm{S}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\triangleq a\left({t}_{\mathrm{S}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right)-b\left({t}_{\mathrm{S}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right)\frac{1}{{t}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]}\ge {r}_{\mathrm{S}}\left[ n \right] $

(30)

$a\left( {t_{\mathrm{S}}^{\left( i \right)}\left[ n \right]} \right) \buildrel \Delta \over = {\mathrm{lb}}\left( {t_{\mathrm{S}}^{\left( {\mathrm{i}} \right)}\left[ n \right]{\mathrm{ + 1}}} \right){\mathrm{ + lbe}} \cdot \frac{{t_{\mathrm{S}}^{\left( i \right)}\left[ n \right]}}{{t_{\mathrm{S}}^{\left( i \right)}\left[ n \right]{\mathrm{ + 1}}}}$

$b\left( {t_{\mathrm{S}}^{\left( i \right)}\left[ n \right]} \right) \buildrel \Delta \over = {\mathrm{lbe}} \cdot \frac{{{{\left( {t_{\mathrm{S}}^{\left( i \right)}\left[ n \right]} \right)}^{\mathrm{2}}}}}{{t_{\mathrm{S}}^{\left( i \right)}\left[ n \right]{\mathrm{ + 1}}}}$

将式(28)重写为式(31)，并利用不等式$ xy\le \frac{1}{2}\left(\frac{{y}^{\left(i\right)}}{{x}^{\left(i\right)}}{x}^{2}+\frac{{x}^{\left(i\right)}}{{y}^{\left(i\right)}}{y}^{2}\right), x, y\in {\mathbb{R}}_{+}, {x}^{\left(i\right)}>0 $，将式(31)凸优化为式(32)。

$ {t}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]\left({\gamma }_{0}{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]+{z}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]\right)\le {\mathrm{e}}^{-k}{\gamma }_{0}{d}_{\mathrm{S}\mathrm{R}}^{-\phi }{p}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]{z}_{\mathrm{S}}\left[ n \right] $

(31)

$ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\cdot \frac{{t}_{S}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}{{\gamma }_{0}{p}_{\mathrm{U}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]+{z}_{\mathrm{S}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}{\left({\gamma }_{0}{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]+{z}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]\right)}^{2}+\\ \frac{1}{2}\cdot \frac{{\gamma }_{0}{p}_{\mathrm{U}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]+{z}_{\mathrm{S}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}{{t}_{\mathrm{S}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}{t}_{\mathrm{S}}^{2}\left[ n \right]+\\ \frac{{\mathrm{e}}^{-k}{\gamma }_{0}{d}_{\mathrm{S}\mathrm{R}}^{-\phi }}{4}{\left({p}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]-{z}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]\right)}^{2}\le \\ \frac{{\mathrm{e}}^{-k}{\gamma }_{0}{d}_{\mathrm{S}\mathrm{R}}^{-\phi }}{4}{\left({p}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]+{z}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]\right)}^{2}\end{array} $

(32)

对于式(29)所示非凸性约束条件，将其迭代地替换为式(33)，该式是式(29)在$ \left({x}^{\left(i\right)}\left[ n \right], {y}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right) $点附近的一阶近似。可以看出，式(30)、式(32)和式(33)是凸二次型约束和线性约束条件。

$ \begin{array}{l}{\left({x}_{\mathrm{R}}-{x}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right)}^{2}+2\left({x}^{\left(i\right)}\left[ n \right]-{x}_{\mathrm{R}}\right)\left(x\left[ n \right]-{x}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right)+\\ {\left({y}_{\mathrm{R}}-{y}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right)}^{2}+2\left({y}^{\left(i\right)}\left[ n \right]-{y}_{\mathrm{R}}\right)\left(y\left[ n \right]-{y}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right)+\\ {H}^{2}\ge {z}_{\mathrm{R}}\left[ n \right]\end{array} $

(33)

2) 引入新变量$ {z}_{\mathrm{E}}\left[ n \right] $、$ {t}_{\mathrm{E}}\left[ n \right] $和$ v\left[ n \right] $，将式(26)等价表示为：

$ {R}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{U}}\left[ n \right]\le \mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+{t}_{\mathrm{E}}\left[ n \right]\right)\le {r}_{\mathrm{E}}\left[ n \right] $

(34)

$ \frac{{r}_{0}{d}_{\mathrm{R}\mathrm{E}}^{-\phi }{p}_{\mathrm{R}}\left[ n \right]}{v\left[ n \right]+1}\le {t}_{\mathrm{E}}\left[ n \right] $

(35)

$ v\left[ n \right]\le \frac{{r}_{0}{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]}{{z}_{\mathrm{E}}\left[ n \right]} $

(36)

$ {\left({x}_{\mathrm{E}}-x\left[ n \right]\right)}^{2}+{\left({y}_{\mathrm{E}}-y\left[ n \right]\right)}^{2}+{H}^{2}\le {z}_{\mathrm{E}}\left[ n \right] $

(37)

在式(34)~式(37)中，除式(37)外的所有约束条件仍是非凸性的。由于$ \mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+{t}_{\mathrm{E}}\left[ n \right]\right) $是一个凹函数，因此式(34)所示非凸性约束条件可以近似表示为：

$ \begin{array}{l}{R}_{\mathrm{E}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\triangleq \mathrm{l}\mathrm{b}\left(1+{t}_{\mathrm{E}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right)+\frac{\mathrm{l}\mathrm{b}\left(e\right)\left({t}_{\mathrm{E}}\left[ n \right]-{t}_{\mathrm{E}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right)}{1+{t}_{\mathrm{E}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}\le {r}_{\mathrm{E}}\left[ n \right]\end{array} $

(38)

与式(32)相似，式(35)所示约束条件表示为：

$ \begin{array}{l}\frac{{\gamma }_{0}{d}_{\mathrm{R}\mathrm{E}}^{-\phi }}{2}\left(\frac{{p}_{\mathrm{S}}^{2}\left[ n \right]}{{p}_{\mathrm{S}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\left({v}^{\left(i\right)}\left[ n \right]+1\right)}\mathrm{ }+\frac{{p}_{\mathrm{S}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\left({v}^{\left(i\right)}\left[ n \right]+1\right)}{{\left(v\left[ n \right]+1\right)}^{2}}\right)\mathrm{ }\le {t}_{\mathrm{E}}\left[ n \right]\end{array} $

该约束条件可进一步近似为：

$ \frac{{\gamma }_{0}{d}_{\mathrm{R}\mathrm{E}}^{-\phi }}{2}\left(\frac{{p}_{\mathrm{S}}^{2}\left[ n \right]}{{p}_{\mathrm{S}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\left({v}^{\left(i\right)}\left[ n \right]+1\right)}+\frac{{p}_{\mathrm{S}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}{2v\left[ n \right]-{v}^{\left(i\right)}\left[ n \right]+1}\right)\le {t}_{\mathrm{E}}\left[ n \right] $

(39)

其中，$ {\left(v\left[ n \right]+1\right)}^{2} $在定义域$ \left(2v\left[ n \right]-{v}^{\left(i\right)}\left[ n \right]+1\right)>0 $上的下界是$ \left({v}^{\left(i\right)}\left[ n \right]+1\right)\left(2v\left[ n \right]-{v}^{\left(i\right)}\left[ n \right]+1\right) $。

同理，式(36)所示约束条件表示为：

$ \frac{1}{2}\left(\frac{{z}_{\mathrm{E}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}{{v}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}{v}^{2}\left[ n \right]+\frac{{v}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}{{z}_{\mathrm{E}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}{z}_{\mathrm{E}}^{2}\left[ n \right]\right)\le {\gamma }_{0}{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right] $

(40)

3) 引入新的变量$ {z}_{\mathrm{P}}\left[ n \right] $，将式(20)重新表示为：

$ \frac{1}{N}\sum\limits_{n\in N}\left({\rho }_{0}{d}_{\mathrm{R}\mathrm{P}}^{-\phi }{p}_{\mathrm{R}}\left[ n \right]+{\rho }_{0}\frac{{p}_{\mathrm{U}}\left[ n \right]}{{z}_{\mathrm{P}}\left[ n \right]}\right)\le \epsilon $

(41)

$ {\left({x}_{\mathrm{P}}-x\left[ n \right]\right)}^{2}+{\left({y}_{\mathrm{P}}-y\left[ n \right]\right)}^{2}+{H}^{2}\ge {z}_{\mathrm{P}}\left[ n \right] $

(42)

同理，式(41)所示约束条件可重写为：

$ \begin{array}{l}\frac{1}{N}\sum\limits_{n\in N}\left({\rho }_{0}{d}_{\mathrm{R}\mathrm{P}}^{-\phi }{p}_{\mathrm{R}}\left[ n \right]\mathrm{ }{+}^{\stackrel{}{\underset{{}_{}}{}}}\right.\\ \left.\frac{{\rho }_{0}}{2}\left[\frac{{p}_{\mathrm{U}}^{2}\left[ n \right]}{{p}_{\mathrm{U}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]{z}_{\mathrm{P}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}+\frac{{p}_{\mathrm{U}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}{2{z}_{\mathrm{P}}\left[ n \right]-{z}_{\mathrm{P}}^{\left(i\right)}\left[ n \right]}\right]\right)\le \epsilon \end{array} $

(43)

最后，式(42)所示约束条件可以近似为：

$ {\left({x}_{\mathrm{P}}-{x}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right)}^{2}+2\left({x}^{\left(i\right)}\left[ n \right]-{x}_{\mathrm{P}}\right)\left(x\left[ n \right]-{x}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right)+\\{\left({y}_{\mathrm{P}}-{y}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right)}^{2}+2\left({y}^{\left(i\right)}\left[ n \right]-{y}_{\mathrm{P}}\right)\left(y\left[ n \right]-{y}^{\left(i\right)}\left[ n \right]\right)+\\{H}^{2}\ge {z}_{\mathrm{P}}\left[ n \right] $

(44)

综上所述，该算法通过应用基于IA的算法以迭代的方式求解了3个子问题，得到问题4：

$ \underset{p, q, r, t, v, z}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{R}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{\mathrm{L}}\triangleq \frac{1}{N}\sum\limits_{n\in N}^{}\left[{r}_{\mathrm{S}}\left[ n \right]-{r}_{\mathrm{E}}\left[ n \right]\right] $

(45)

s.t.式(1)，式(2)，式(30)，式(32)，式(33)，式(37)，式(38)，式(39)，式(40)，式(43)，式(44)(46)

此外，问题4的目标函数也同时可保证算法的收敛性。

3 仿真与数值结果分析

本节给出仿真及数值结果，通过使Eve比SR更接近R来证明UAV使用干扰噪声的有效性。将ST、SR、Eve、PR和R的三维坐标分别设为$ (-100, \mathrm{ }-\mathrm{200, 0}) $、$ \left(\mathrm{300, 0}, 0\right) $、$ \left(\mathrm{150, 250, 0}\right) $、$ \left(\mathrm{0, 250, 0}\right) $和$ \left(\mathrm{0, 0}, 0\right) $。UAV在100 m的高度飞行，位置从$ \left(-\mathrm{100, 200, 100}\right) $飞行到$ \left(\mathrm{500, 200, 100}\right) $处。其他仿真参数设置如表 1所示。

T=500 s时本文方案的收敛性如图 2所示，可以看出，每次迭代的平均保密率均呈现单调递增趋势。此外，与其他优化方案相比，该方案只需约8次迭代即可达到最优保密率，其收敛速度较快，计算复杂度较低。

将本文方案分别与优化功率、优化轨迹、无干扰3种方案进行比较。不同方案在飞行时间段$ T= $[$ \mathrm{0, 500}\mathrm{ }\mathrm{s} $]内的平均保密率如图 3所示。显然，除了无干扰方案外，所有方案的保密率都以预期的方式增长。在没有UAV进行干扰时，平均保密率保持不变且接近于0。此外还可以注意到，本文方案始终具有最高的保密率，这进一步证实了使用UAV发送干扰噪声的重要性，同时也证明了联合优化UAV飞行轨迹和移动干扰功率的必要性。

本文用不同的时间段$ t\in \left\{\left.{80}_{}\mathrm{s}, {260}_{}\mathrm{s}, {500}_{}\mathrm{s}\right\}\right. $来解释UAV的飞行轨迹。由图 4可以看出，除了直线轨迹外，其他方案的轨迹几乎一致，在PR满足给定的干扰功率阈值的条件下，UAV将接近Eve、远离SR以避免强烈干扰，从而更好地实现UAV的干扰效果，并悬停在Eve上发射干扰噪声来降解其Eve的解码能力。随着时间$ T $的增加，UAV将会以更好的飞行位置继续靠近并干扰Eve，以此获得更高的安全性。

UAV到Eve的距离如图 5所示，可以看出，UAV与Eve的最佳距离约为50 m，UAV尽可能较长时间地悬停在最佳位置。随着$ T $的增加，停留时间越长，平均保密率越高。

4 结束语

本文研究DF中继协作下CRN的信息安全问题，并基于物理层安全理论，提出一种新型的UAV干扰方案，通过联合优化UAV飞行轨迹和发射功率，伺机发送干扰信号给窃听者，从而增强地面窃听信道的保密性。由于本文设计的优化问题是非凸的，因此采用一种基于凸逼近的低复杂度求解算法，使每个约束条件被近似凸约束条件来代替，进而得到问题的最优解。仿真结果表明，本文方案能够有效提高二次系统的平均保密率，增强单层网络系统的安全性。下一步将研究中继无人机辅助的安全网络、其他空对地信道模型和多窃听者的物理层安全优化问题。