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0 概述

随着高速多媒体应用和高密度物联网设备的普及，未来5G/B5G网络将会是基站（Base Station，BS）密集部署的热点通信网络，现有的蜂窝网络也将向小区密集化和以用户为中心的小型基站（Small Base Station，SBS）部署方向发展。

由于实际部署在多层5G HetNets中的BS位置表现出不规则性，因此随机几何空间模型被视为HetNets精确建模和分析的重要工具^[1-2]。在该方法中，大规模无线网络被抽象为点过程^[3-4]，从文献[5-6]的研究中可以得出将BS的分布视为一个点过程的原因。通过蒙特卡洛模拟，文献[7]研究得出理想六边形蜂窝系统下行链路信号干扰比的分布，接近根据齐次泊松点过程（Poisson Point Processe，PPP）部署BS的蜂窝系统。在上述文献的启发下，文献[8-10]采用基于随机几何的模型对蜂窝网络性能进行评估，且已有大多数工作都将蜂窝网络建模为传统的理想六边形网格模型。然而，上述研究只将BS和用户设备（User Equipments，UE）在每层中的位置建模为独立的PPP。在基于热点的5G HetNets中，当UE和BS之间存在相关性时，UE和BS之间的独立性假设可能不太准确。在实践中，虽然传统宏基站（Macro Base Station，MBS）的部署较一致，但为了满足全覆盖要求，又部署了其他类型的SBS，如微微基站（Pico Base Station，PBS）和毫微微基站（Femto Base Station，FBS）。因此，SBS有望部署在拥挤或热点地区，以修补覆盖死区，这实际上耦合了UE和SBS的位置，使UE和SBS之间存在一定的相关性^[11]。

虽然现有研究大多利用UE和SBS（如PBS）之间的耦合，但在现实中，由于热点区域中密集UE在短时间内引起数据速率突然激增，可能导致以集群为中心的BS过载。在此情况下，需要在以集群为中心的部署模式下部署更多的低功耗FBS作为UE，为过载BS提供流量分流。在实践中，对于高密度HetNets，一个通用的模型是从热点区域中抽象出集群中心并建模为PPP。UE和所有SBS均分散在热点中心周围，并建模为泊松簇过程（Poisson Cluster Process，PCP）。虽然这种部署利用UE与中心之间的耦合以及所有SBS与中心之间的耦合，但对活动节点的位置呈空间分离的场景单纯使用PPP和PCP来建模是不现实的，更合适的模型是泊松洞过程（Poisson Hole Process，PHP）。此外，文献[2-10]仅研究了单层蜂窝网络或者两层异构网络，并未对三层异构网络进行建模和研究。

本文在PPP和PCP的基础上结合PHP，提出一种面向密集热点区域的三层异构网络建模方案，以应用于移动UE和FBS都集中部署或分散在公共集群中心的网络场景。此外，本文还分析有序和非有序FBS这2种情况下不同网络参数对级联概率的影响。

1 网络建模

本文考虑一个三层异构蜂窝网络，如图 1所示，其中，第1层、第2层和第3层分别由MBS、PBS和FBS组成，分别称为M层、P层和F层。所有MBS都配有大规模多输入多输出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）天线$ {N}_{\mathrm{M}} $，所有PBS都配备传统的MIMO天线$ {N}_{\mathrm{P}} $，所有FBS和UE都是单天线。利用简单的线性迫零波束形成（Zero Forcing Beamforming，ZFBF），每个MBS和PBS可以同时分别与$ {S}_{\mathrm{M}} $个和$ {S}_{\mathrm{P}} $个UE进行通信。MBS和PBS的空间位置分别建模密度为$ {\lambda }_{\mathrm{M}} $和$ {\lambda }_{\mathrm{P}} $的独立PPP $ {\varPhi }_{\mathrm{M}} $和$ {\varPhi }_{\mathrm{P}} $，假设整个网络在可用带宽$ W $低于6 GHz的频带上工作。

与MBS和PBS的空间分布不同，本文在PHP的辅助下对FBS和UE的空间分布进行建模，PHP是拥挤或热点区域移动UE更真实的空间分布模型。同时，为了进一步提高容量，本文在PBS周围密集部署FBS，从而实现PBS位置与UE和FBS的耦合。此外，除建模UE簇分布，本文还假设剩余的UE服从PHP。

本文将FBS的位置建模为密度$ {\lambda }_{\mathrm{F}} $的托马斯簇过程（Thomas Cluster Process，TCP）$ {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{F}} $，其父点过程服从$ {\varPhi }_{\mathrm{P}} $^[12-13]，即这个点过程$ {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{F}} $是由散布在父点过程$ {\varPhi }_{\mathrm{P}} $周围的簇成员（FBSs）按照方差为$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2} $的对称正态分布形成的，每个簇中的平均点数为$ {\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}} $。为了提高小区边缘UE的性能，采用PHP对簇边缘的点进行建模。

在给定父点过程$ {\varPhi }_{\mathrm{P}} $中PBS的覆盖半径为$ {R}_{2} $，在PBS覆盖区域内的点$ {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{F}} $被建模为PCP $ {\varXi }_{\mathrm{F}}^{{R}_{2}}\triangleq \underset{\boldsymbol{y}\in {\varPhi }_{\mathrm{F}}}{\mathrm{U}}b(\boldsymbol{y}, {R}_{2}) $，称为簇中心FBS；余下的FBS点被建模为PHP $ {\Psi }_{\mathrm{F}}^{{R}_{2}}=\left\{\boldsymbol{x}\in {\varPhi }_{\mathrm{F}}:\boldsymbol{x}\ne {\varXi }_{\mathrm{F}}^{{R}_{2}}\right\}={\varPhi }_{\mathrm{F}}\backslash {\varXi }_{\mathrm{F}}^{{R}_{2}} $，称为簇边缘FBS。UE的位置遵循空间密度为$ {\lambda }_{\mathrm{U}} $的任意独立点过程$ {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{U}} $。为了捕获耦合特性，UE根据点的平均数为$ {\stackrel{-}{c}}_{D} $的TCP独立地散布在父点过程$ {\varPhi }_{\mathrm{P}} $周围。在PBS覆盖区域内的点$ {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{U}} $被建模为PCP $ {\varXi }_{\mathrm{U}}^{{R}_{2}}\triangleq \underset{\boldsymbol{y}\in {\varPhi }_{\mathrm{U}}}{U}b(\boldsymbol{y}, {R}_{2}) $，称为簇中心UE；剩余的点UE被建模为PHP $ {\Psi }_{\mathrm{U}}^{{R}_{2}}=\left\{\boldsymbol{x}\in {\varPhi }_{\mathrm{U}}:\boldsymbol{x}\ne {\varXi }_{\mathrm{U}}^{{R}_{2}}\right\}={\varPhi }_{\mathrm{U}}\backslash {\varXi }_{\mathrm{U}}^{{R}_{2}} $，称为簇边缘UE。

2 UE分类和距离分布 2.1 UE分类

由上文可得，目标UE可以与MBS、PBS或FBS相级联，此外，对于给定的级联，目标UE分为簇内UE或簇外UE，所有这些情况使UE类型变得更复杂。图 2所示为UE分类情况，具体如下：

1）簇中心UE和簇边缘UE过程：簇中心UE过程$ {\varPhi }_{\mathrm{C}\mathrm{U}\mathrm{E}} $是在PBS覆盖范围内UE点的集合，簇边缘UE过程$ {\varPhi }_{\mathrm{E}\mathrm{U}\mathrm{E}} $是剩余UE点的集合。

2）簇中心FBS和簇边缘FBS过程：簇中心FBS过程$ {\varPhi }_{\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{B}} $是位于PBS覆盖范围内的FBS集合，簇边缘FBSs过程$ {\varPhi }_{\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{B}} $是剩余FBS集合。

3）簇中心宏小区UE（MUE）、微微小区UE（PUE）和毫微微小区UE（FUE）过程：簇中心MUE、PUE和FUE过程$ {\varPhi }_{\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{U}} $、$ {\varPhi }_{\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{U}} $和$ {\varPhi }_{\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{U}} $分别表示与MBS、PBS和FBS级联簇的中心UE的集合。

4）簇边缘MUE和FUE过程：簇边缘MUE和FUE过程$ {\varPhi }_{\mathrm{E}\mathrm{M}\mathrm{U}} $和$ {\varPhi }_{\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{U}} $分别表示与MBS和FBS级联的簇边缘UE的集合。

基于簇UE的分类，本文根据带宽分配因子$ \eta $将可用的总带宽$ W $分成两个正交的子带宽$ {W}_{1} $和$ {W}_{2} $，因此，$ {W}_{1}=\eta W $，$ {W}_{2}=(1-\eta )W $。假设$ {W}_{1} $被分配给为簇中心UE提供服务的PBS，$ {W}_{2} $被分配给为簇边缘UE提供服务的MBS，则簇中心FBS与MBS共享子带宽$ {W}_{2} $，簇边缘FBS与PBS共享子带宽$ {W}_{1} $。

2.2 距离分布

忽略簇和洞的重叠影响，在随机选取的簇中随机选取一个目标UE，本文将其称为代表簇。根据Slivnyak-Moche定理，在Borel空间上的点过程是PPP，当且仅当Palm分布几乎处处与原分布定理一致。因此，对以$ {x}_{{\mathrm{P}}_{0}}\in {\varPhi }_{\mathrm{P}} $为中心的代表簇中位于原点的目标UE进行分析是合理的。

服务于目标UE的BS被称为标记BS。由于MBSs的位置被建模为密度$ {\lambda }_{\mathrm{M}} $的齐次PPP $ {\varPhi }_{\mathrm{M}} $，$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}‖ $表示目标UE到最近MBS的距离，距离$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}‖ $的PDF由$ {f}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}‖}\left(x\right)=2\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}x\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{x}^{2}\right) $给出，其中，$ {x}_{\mathrm{M}}\in {\varPhi }_{\mathrm{M}} $。将目标UE到簇中心PBS的距离记为$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}‖ $。

对于FBSs，本文分别在有序和非有序情况下考虑目标UE到代表簇中FBSs的距离$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}‖ $的集合。在有序FBSs的情况下，考虑在同一簇或代表性簇中最接近目标UE的FBS，其相应的距离记为$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{O}}‖ $，$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{O}}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{F}} $，该方法产生了较少的路径损耗。然而，在非有序FBSs的情况下，在代表簇中随机选择FBS，其相应的距离表示为$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}‖ $，$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{F}} $，该方案为$ {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{F}} $中每个UE接入FBSs提供了公平的机会，其优点是网络不需要额外的瞬时信道状态信息，但在某些网络中由于基础设备性能较差而无法获得这些信息。

本文首先描述非有序FBSs情况下的距离$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}‖ $。一般而言，距离$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}‖ $的统计描述与代表簇中心$ {x}_{{\mathrm{P}}_{0}}\in {\varPhi }_{\mathrm{P}} $有关，即如果以代表簇中心$ {x}_{{\mathrm{P}}_{0}}\in {\varPhi }_{\mathrm{P}} $的位置为条件，则距离$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}‖ $可用莱斯分布来表示^[14]：

$ {f}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}‖}\left(a|b\right)=\frac{a}{{\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}}\right){I}_{0}\left(\frac{ab}{{\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}}\right) $

(1)

其中，$ {I}_{0}\left(\cdot \right) $表示零阶、距离$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2} $的方差修正的第一类贝塞尔函数。然而，文献[15-16]研究结果表明，修正部分非常微弱，可以忽略。由于从代表簇中心$ {x}_{{\mathrm{P}}_{0}}\in {\varPhi }_{\mathrm{P}} $到目标FBS和UE的距离分别是具有方差$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2} $和$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $的独立且非均匀分布的高斯随机变量，因此得到的目标UE到FBS的总距离$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}‖ $也具有方差为$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $的高斯分布，所以，可以使用方差$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $的瑞利衰落来近似$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}‖ $分布，即$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}‖ $的PDF近似为：

$ {f}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}‖}\left(x\right)=\frac{x}{\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right) $

(2)

在非有序FBSs的情况下，距离$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}‖ $的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）为：

$ {F}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}‖}\left(x\right)=1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right) $

(3)

根据次序统计^[17]和类似于式（2）的考虑，在有序FBSs的情况下，目标UE到最近FBS的距离$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{O}}‖ $的CDF为：

$ {F}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{O}}‖}\left(x\right)={\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}} $

(4)

根据$ {F}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{O}}‖}\left(x\right) $的推导，则最近距离$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{O}}‖ $的PDF为：

$ \begin{array}{l}{f}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{O}}‖}\left(x\right)={\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}-1}\mathrm{d}y\cdot \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\frac{x}{\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\end{array} $

(5)

在后续分析中，将会删除$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{N}}‖ $和$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{O}}‖ $的上标索引，用$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}‖ $表示目标UE到FBS的距离，根据非有序或有序FBSs的分析得出，可以用式（2）~式（5）来表示$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}‖ $。

3 UEs级联和访问距离分布 3.1 簇中心UEs级联

由于UEs可能属于簇中心也可能属于簇边缘，因此本文将分别研究簇中心和簇边缘UEs的级联。

考虑到UEs可能有3种类型的级联概率（Association Probability，AP），即MBS、PBS和FBS，以下利用长期平均接收信号功率模型，则目标UE到位于$ {x}_{z}\in {\varPhi }_{Z} $（$ {x}_{z}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{Z} $）处的BS接收的长期平均下行链路信号功率$ {P}_{\mathrm{z}, r}^{\mathrm{A}} $^[18]表示为：

$ {P}_{\mathrm{z}, r}^{\mathrm{A}}={G}_{z}\frac{{P}_{z}}{{S}_{z}}L\left(‖{\boldsymbol{x}}_{z}‖\right) $

(6)

其中，$ z\in \{\mathrm{F}, \mathrm{M}, \mathrm{P}\} $，$ {G}_{\mathrm{M}} $表示MBSs的大规模MIMO平均阵列传输增益。在ZFBF传输下，阵列增益由$ {G}_{z}={N}_{z}-{S}_{z}+1 $给出。尽管在$ z=\mathrm{F} $时，$ {S}_{z}=1 $、$ {G}_{z}=1 $，但仍然使用式（6）的一般形式，该假设仍适用于后续分析，除非另有说明。$ L\left(‖{\boldsymbol{x}}_{z}‖\right)=\beta {\left(‖{\boldsymbol{x}}_{z}‖\right)}^{-\alpha } $表示路径损耗模型，其中，$ \alpha $是值为$ 2\sim 6 $的路径损耗指数，$ \beta $是与频率相关的常数值，通常设置为$ \left(c/4\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{f}_{c}\right) $，并且$ c=3\times {10}^{8}\mathrm{m}/\mathrm{s} $，$ {f}_{c} $为载波频率^[18]。

在接收信号的平均功率模型式（6）中，首先关注簇内UEs（即簇中心UEs）的级联。由于本文仅考虑蜂窝下行链路传输，因此使用最强的平均偏置接收功率（Average Biased Received Power，ABRP）来决定UEs的级联^[19]。ABRP的基本思想是目标UE根据ABRP与强BS相级联，因此，决定服务于目标簇中心UE的BS表示为：

$ \mathrm{B}{\mathrm{S}}^{\mathrm{C}}:\underbrace {{\mathop{\rm argmax}\nolimits} }_{z \in \left[ {{\rm{M}}, {\rm{P}}, {\rm{F}}} \right]}\left\{{B}_{z}{P}_{z, r}^{\mathrm{A}}\right\} $

(7)

其中，$ {B}_{z} $表示$ \mathrm{z} $层相同的偏移因子。因此，使用级联准则式（7），获得AP，具体变量定义如下：

$ \begin{array}{l}{\widehat{B}}_{kz}={B}_{k}/{B}_{z} , {\widehat{P}}_{kz} ={P}_{k}/{P}_{z}\\ {\widehat{G}}_{kz}=\left({G}_{k}/{S}_{k}\right)/\left({G}_{z}/{S}_{z}\right)\end{array} $

(8)

当$ z=\mathrm{F} $时，有$ {S}_{z}=1 $和$ {G}_{z}=1 $。同时，由于簇中FBS的数量是固定的，因此，假设在有序和非有序FBSs两种不同场景下从同一簇中选择服务的FBS。在有序FBSs的情况下允许目标UE访问代表簇中最近的FBS；在非有序FBSs的情况下允许目标UE在代表簇中随机选择FBS。在此基础上，本文实现命题1。

命题1  在有序FBSs的情况下，目标簇中心UE与$ z $层中一个BS级联的概率$ {\varLambda }_{z}^{\mathrm{C}\mathrm{O}} $分别为：

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}= \\ \\ \frac{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}}{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)\right)\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left({\int }_{0}^{\mathrm{\infty }}x\left(1-\left.\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+ \\ \\ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\right)\right.\right.}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}-1}\left(\stackrel{}{\underset{}{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}}}\left(\stackrel{}{\underset{}{-}}\left(\stackrel{}{\underset{}{\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}}\right.\right.\right.\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right.{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\left.{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }+\\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2{\sigma }^{2}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}} {\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}} {\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}} \right)}^{2/\alpha }+\left.\left.\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+ \\ \\ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right){x}^{2}\right)-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left.\left.\left(-\left({\left.\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{x}^{2}\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right.{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }+ \\ \\ \frac{1}{2{\sigma }^{2}}{R}_{2}^{2}+ \\ \\ \frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+ \\ \\{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\right)\right)\mathrm{d}x\right)\end{array} $

(9)

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=\frac{2\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\left({\int }_{0}^{\mathrm{\infty }}x\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\stackrel{}{\underset{}{-}}\right.\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right.\right.\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right.{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\left.{\left.{\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)\left.-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)\right)\cdot \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{\rm{ \mathsf{ π} }} {\lambda }_{\mathrm{M}}{x}^{2}\right)\left.\left(1-{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}} {\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}} \right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}}\right)\mathrm{d}x\right)\end{array} $

(10)

$ {\varLambda }_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=\frac{1}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)}\left({\int }_{0}^{{R}_{2}}\frac{x}{{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right.\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{x}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left.\left({\rm{ \mathsf{ π} }} {\lambda }_{\mathrm{M}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}} {\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}} {\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)\right)\right.\cdot \\ \\ \left(1-{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}} {\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}} \\ \\ {\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}}\mathrm{d}x\right) $

(11)

证明  在有序FBSs的情况下，首先计算目标簇中心UE与位于毫微微小区层$ {x}_{\mathrm{F}}\in {\varPhi }_{\mathrm{F}} $的FBS的AP，即$ {\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}} $。在此情况下，$ {\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}} $计算如下：

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=\mathbb{P}\left\{{B}_{\mathrm{F}}{P}_{\mathrm{F}, r}>\underset{z\in \left\{\mathrm{M}, \mathrm{P}\right\}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left\{{B}_{\mathrm{z}}{P}_{\mathrm{z}, r}\right\}\right\}=\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \prod \limits_{z\in \left\{\mathrm{M}, \mathrm{P}\right\}}\mathbb{P}\left\{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{z}}‖>{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{z}}{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{z}}{\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{z}}\right)}^{1/\alpha }‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{}‖\right\}\end{array} $

(12)

在区域$ \mathrm{A} $内通过应用密度为$ \lambda $的PPP的空概率，即$ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\lambda \mathrm{A}) $，则来自$ {\varPhi }_{\mathrm{M}} $的干扰的级联概率表示为：

$ \begin{array}{l} \mathbb{P}\left\{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}‖>\right.\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}} \right.\left.{\left.{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{1/\alpha }‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{}‖\right\}=\\ {\mathbb{E}}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}}‖}\left\{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\right.\left(-\right.\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right.\left.\left.{\left.{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{}‖}^{2}\right)\right\} \end{array} $

(13)

注意代表簇中只有一个PBS，并且目标簇中心UEs落在PBS半径为$ {R}_{2} $的覆盖范围内，目标UEs到其簇中心的距离$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}‖ $的CDF可写为：

$ {F}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}‖}\left(\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)}\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{‖\boldsymbol{x}‖}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)\right) $

(14)

其中，$ {\sigma }_{\mathrm{D}} $是TCP的高斯UE分布的标准推导，由式（14）得出式（15）。因此，$ {\mathrm{\varLambda }}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}} $可进一步写为式（16），其中，$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}‖ $是目标UE到代表簇中最近FBS的距离，其PDF由式（2）给出。因此，结合式（2）和式（16）可得到目标簇中心UE与FBS的AP，即$ {\mathrm{\varLambda }}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}} $如式（17）所示。

$ \mathbb{P}\left\{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}‖>{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}\right)}^{1/\alpha }‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{}‖\right\}= \\ \\ \frac{1}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)}{\mathbb{E}}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{}‖}\left\{\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right.\right.\right.\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}} {\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}\right)\left.\left.\left.{}^{2/\alpha }{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{}‖}^{2}\right)- \\ \\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)\right)\right\} $

(15)

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=\frac{1}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)}\left({\stackrel{}{\underset{}{\mathbb{E}}}}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{}‖}\left\{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\stackrel{}{\underset{}{\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}}\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right.\right.\right.\right.\right.\left.\left.\left.{\left.{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }+ \\ \\ \frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }\right){‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{}‖}^{2}\right)\right\}-\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.{\mathbb{E}}_{‖{\boldsymbol{x}}_{F}^{}‖}\left\{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}} {\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}} {G}_{\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{}‖}^{2}+\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}{R}_{2}^{2}\right)\right)\right\}\right)\end{array} $

(16)

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=\frac{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}}{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)\right)\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\int }_{0}^{\mathrm{\infty }}x \\ \\ {\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}-1}\left(\stackrel{}{\underset{}{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}}}\left(\stackrel{}{\underset{}{-}}\left({\rm{ \mathsf{ π} }} {\lambda }_{\mathrm{M}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}} \right)}^{2/\alpha }\right.\right.\right.+\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2{\sigma }^{2}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}} {\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}} \right)}^{2/\alpha }+\left.\left.\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right){x}^{2}\right)- \\ \\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left.\left(-\left({\left.{\rm{ \mathsf{ π} }} {\lambda }_{\mathrm{M}}{x}^{2}\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right.{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }+\frac{1}{2{\sigma }^{2}}{R}_{2}^{2}+\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\right)\right)\mathrm{d}x\end{array} $

(17)

当目标簇中心UE与式（12）的具有对称性的MBS相级联时，级联概率$ {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}} $表示为：

$ {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=\prod \limits_{z\in \left\{\mathrm{P}, \mathrm{F}\right\}}\mathbb{P}\left\{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{z}}‖>{\left({\widehat{B}}_{zM}{\widehat{P}}_{zM} {\widehat{G}}_{zM}\right)}^{1/\alpha }‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{}‖\right\} $

(18)

当$ z=\mathrm{P} $时，结合式（14）中$ {F}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}‖}\left(\boldsymbol{x}\right) $分布和PBS的覆盖半径$ {R}_{2} $，可以得到式（19）。当$ z=\mathrm{F} $，利用式（4）中有序FBSs的CDF$ {F}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}‖}\left(\boldsymbol{x}\right) $，则概率$ \mathbb{P}\left\{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}‖>{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{1/\alpha }‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}‖\right\} $如式（20）所示。将式（19）和式（20）代入式（18），则$ {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}} $可以进一步计算得到式（21）。对于密度为$ {\lambda }_{\mathrm{M}} $的PPP$ {\varPhi }_{\mathrm{M}} $，距离$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}‖ $的PDF为$ {f}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}‖}\left(x\right)=2\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}x\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{x}^{2}\right) $。因此，$ {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}} $如式（22）所示。类似地，利用式（37）中距离$ ‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}‖ $的分布，目标簇中心UE与唯一的PBS的级联概率如式（23）所示。

$ \mathbb{P}\left\{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}‖>{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}} {\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right)}^{1/\alpha }‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{}‖\right\}= \\ \\ \frac{1}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\mathbb{E}}_{‖{\bf{x}}_{\mathrm{M}}^{}‖} \\ \\ \left\{\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\times {\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}{\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{}‖}^{2}\right)\right.\right.\left.\left. \\ \\ -\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)\right)\right\} $

(19)

$ \mathbb{P}\left\{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}‖>{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{1/\alpha }‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}‖\right\}= \\ \\ 1-{\mathbb{E}}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}}‖}\left\{\left.\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}{\left(-\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+ \\ \\ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}‖}^{2}\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}}\right)\right\}\right. $

(20)

$ \begin{array}{l} {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}= \\ \\ \frac{1}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\left({\mathbb{E}}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{}‖}\left\{\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}} {\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{}‖}^{2}\right)\right.\right.\right. \\ \\ -\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left.\left.\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)\right)\right\}-\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\mathbb{E}}_{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{}‖}\left\{\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}} {\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right.\right.\right.\right.\left.{\left.{\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{}‖}^{2}\right)\left. \\ \\ -\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)\right)\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right.\right.\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right. \\ \\ {\left.{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }\left.\left.{\left.\left.{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{}‖}^{2}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}}\right\}\right) \end{array} $

(21)

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=\frac{2\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\int }_{0}^{\mathrm{\infty }}x\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right.\right.\right.\left.{\left.{\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left.\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)\right)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{x}^{2}\right)\cdot \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(1-{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}} {\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}}\right)\mathrm{d}x\end{array} $

(22)

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=\frac{1}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{-{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)}{\int }_{0}^{{R}_{2}}\frac{x}{{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{x}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}\right.\right.\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}}\right.\left.\left.{\left.{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}} {\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)\right)\cdot \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left({\left(1-\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}}{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}}{\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}}\right)\mathrm{d}x\end{array} $

(23)

利用与命题1相似的论据，可以得到在非有序FBSs情况下的AP，即推论1，其中推论1可以用与命题1相似的准则来证明。

推论1   在非有序FBSs的情况下，目标簇中心UEs与$ z $层中的一个BS级联的概率$ {\varLambda }_{\mathrm{z}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}} $分别如式（24）~式（26）所示。

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}=\frac{1}{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)\right)\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}x{\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\right.\left(\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}} \right)}^{2/\alpha }+\frac{1}{2{\sigma }^{2}}\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}\right.\right.\left. {\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}\right)\right.}^{2/\alpha }+\\ \left.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right){x}^{2}\right)-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left.\left.\left(-\left({\stackrel{\stackrel{}{}}{\underset{}{\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }\lambda }}}_{\mathrm{M}}{x}^{2}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }\right.+\frac{1}{2{\sigma }^{2}}{R}_{2}^{2}+\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\right)\right)\mathrm{d}x\end{array} $

(24)

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}=\frac{2\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\int }_{0}^{\mathrm{\infty }}x \left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right.\right.\right.\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right.{\left.{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}} {\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }+ \\ \\ \frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+ \\ \\ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right.{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\left. {\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }+\left.\left.\stackrel{\stackrel{}{}}{\underset{}{\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}}\right){x}^{2}\right)-\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}{R}_{2}^{2}+\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right.\right.\left.\left.\left. \\ \\ {\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}} {\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}+\stackrel{}{\underset{}{\stackrel{}{\underset{}{\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}}}}{x}^{2}\right)\right)\right)\mathrm{d}x\end{array} $

(25)

$ {\varLambda }_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}=\frac{1}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\int }_{0}^{{R}_{2}^{}}\frac{x}{{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\stackrel{}{\underset{}{\stackrel{}{\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}}}\right.\left(\stackrel{}{\underset{}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}}\right.}}\right.{\left.{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}}\right)}^{2/\alpha }+\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}} {\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}} {\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}}\right)}^{2/\alpha }+ \\ \\ \left.\left.\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right){x}^{2}\right)\mathrm{d}x $

(26)

由命题1易得目标UE到z层服务BS级联距离的PDF。在有序FBSs的情况下，假设服务FBS、MBS和PBS分别位于$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}} $、$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}} $和$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}} $处，则目标UE到其服务FBS、MBS和PBS的级联距离分别表示为$ {X}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}‖ $、$ {X}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}‖ $和$ {X}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}‖ $，且$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{F}} $，$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{M}} $，$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{P}} $。根据这些假设，可以实现命题2。

命题2  在有序FBSs的情况下，假设目标簇中心UE与$ z $层中的一个BS相级联，则级联距离$ {X}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}‖ $、$ {X}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}‖ $和$ {X}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}‖ $的PDF分别如式（27）~式（29）所示。

$ \begin{array}{l}{f}_{{X}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}}\left(\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{{\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}}\frac{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}x}{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)\right)\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}-1}\cdot \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{x}^{2}\left(\stackrel{}{\underset{}{\stackrel{}{\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}}}\right.\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)\right.\left.\left.{}^{2/\alpha }+\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\right)\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }^{2}}\right.\times \right.\left.\left.{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}} {\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}} {\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}} \right)}^{2/\alpha }\stackrel{}{\underset{}{\stackrel{}{{x}^{2}}}}\right)- \\ \\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }^{2}}{R}_{2}^{2}\right)\right)\end{array} $

(27)

$ \begin{array}{l}{f}_{{X}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}}\left(\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{{\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}}\frac{2\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}x}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{x}^{2}\right)\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}{\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }\right.\right.\left.{\stackrel{}{\underset{}{‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{}‖}}}^{2}\right)- \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)\right)\left(1-{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}}\right) \end{array} $

(28)

$ \begin{array}{l}{f}_{{X}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}}\left(\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{{\varLambda }_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}}}\frac{1}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)}\frac{x}{{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{x}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}}{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)\right)\cdot \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(1-{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}} {\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}} {\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}}\right)\end{array} $

(29)

此外，在非有序FBSs的情况下，推论2给出了相应级联距离的PDF。

推论2  在非有序FBSs的情况下，假设目标簇中心UE与$ z $层中的一个BS相级联，则级联距离$ {X}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}‖ $，$ {X}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}‖ $，$ {X}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}‖ $，且$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{F}} $、$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{M}} $和$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{P}} $的PDF分别如式（30）~式（32）所示。

$ \begin{array}{l} {f}_{{X}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}}\left(\boldsymbol{x}\right)=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}} {\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}} {\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }+\right.\right.\left.\left.\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}} {\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}} {\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }+\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}\right){x}^{2}\right)- \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{{\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}}\frac{2\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}x}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}{R}_{2}^{2}+\right.\right.\left.\left.\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}} {\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}+\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{x}^{2}\right)\right)\end{array} $

(30)

$ \begin{array}{l}{f}_{{X}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}}\left(\boldsymbol{x}\right)= \\ \\ \frac{1}{{\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}}\frac{x}{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-{R}_{2}^{2}/2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)\right)\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}} {\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }+ \\ \\ \frac{1}{2{\sigma }^{2}}\right.\right.\right.\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}\right.{\left.{\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }+\left.\left.\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right) {x}^{2}\right) -\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\stackrel{}{\underset{}{\stackrel{}{\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }\right.+\frac{1}{2{\sigma }^{2}}\right.{R}_{2}^{2}\left.\left.\left.+\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+ \\ \\ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right){x}^{2}\right)\right)\end{array} $

(31)

$ {f}_{{X}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}}\left(\boldsymbol{x}\right)= \\ \\ \frac{1}{{\varLambda }_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}}}\frac{1}{1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{R}_{2}^{2}}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right)}\frac{x}{{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}}{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{P}}\right)}^{2/\alpha }+\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+ \\ \\ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right.\right.\left.\left.{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}}{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}}{\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{P}}\right)}^{2/\alpha }+\frac{1}{2{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}}\right){x}^{2}\right) $

(32)

3.2 簇边缘UEs级联

在目标UE位于PBSs的覆盖范围之外时，簇边缘UEs仅具有两种可能的级联类型，即MBS和FBS，如图 1所示。级联准则式（7）可以重新记为：

$ \mathrm{B}{\mathrm{S}}^{\mathrm{E}}:\underbrace {{\mathop{\rm argmax}\nolimits} }_{z \in \left[ {{\rm{M}}, {\rm{F}}} \right]} \left\{{B}_{z}{P}_{z, r}^{A}\right\} $

(33)

因此，对于有序FBSs的情况，可以得到命题3。

命题3  在有序FBSs的情况下，目标簇边缘UE与$ z $层中BS的级联概率$ {\varLambda }_{\mathrm{z}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}} $分别为：

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}={\int }_{0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}x}{\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{a}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}-1}\cdot \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}-\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\mathrm{d}x\end{array} $

(34)

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}=1-2\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{\int }_{0}^{\mathrm{\infty }}x\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right.\right.\cdot \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\left.\left.\left({\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}} {\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}} {\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{x}^{2}\right)\mathrm{d}x\end{array} $

(35)

推论3  在非有序FBSs的情况下，目标簇边缘UE与$ z $中一个BS的级联概率$ {\varLambda }_{\mathrm{z}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}} $分别为：

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}={\int }_{0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\stackrel{\stackrel{}{}}{\underset{}{-\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}}\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right.\right.{\left.{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}-\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\mathrm{d}x\end{array} $

(36)

$ \begin{array}{l}{\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}=2\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{M}{\int }_{0}^{\mathrm{\infty }}x\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}\right)}\right.\right.{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }+\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\left.\stackrel{}{\underset{}{\stackrel{}{\underset{}{\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}}}}\right){x}^{2}\right)\mathrm{d}x\end{array} $

(37)

此外，在有序FBSs的情况下，目标簇边缘UE与其服务FBS和MBS的级联距离分别为$ {X}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}‖ $和$ {X}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}‖ $，且$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{F}} $，$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{M}} $，由此可得命题4。

命题4  在有序FBSs的情况下，假设目标簇边缘UE与$ z $层中的一个BS相级联，则级联距离$ {X}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}‖ $和$ {X}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}‖ $的PDF分别为：

$ \begin{array}{l}{f}_{{X}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}}\left(\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{{\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}}\frac{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}x}{\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}{\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{-{a}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}-1}\cdot \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}} {\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}-\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\end{array} $

(38)

$ \begin{array}{l}{f}_{{X}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}}\left(\boldsymbol{x}\right)=\frac{2\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}x}{{\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}}}\left(1-\left(1-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right.\right.\ \cdot \right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.{\left.\left.\left({\left({\widehat{B}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}} {\widehat{P}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}} {\widehat{G}}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}\right)\right)\right)}^{{\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}}\right)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}{x}^{2}\right)\end{array} $

(39)

此外，在非有序FBSs的情况下，目标簇边缘UE与其服务FBS和MBS的级联距离分别为$ {X}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}‖ $和$ {X}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}‖ $，且$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{F}} $，$ {\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}\in {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{M}} $，由此可得推论4。

推论4  在非有序FBSs的情况下，假设目标簇边缘UE与$ z $层中的一个BS相级联，则级联距离$ {X}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}‖ $和$ {X}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}=‖{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}‖ $的PDF分别为：

$ \begin{array}{l}{f}_{{X}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}}\left(\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{{\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}}\frac{x}{\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\stackrel{\stackrel{}{}}{\underset{}{-\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}}\right.{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\widehat{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}} {\widehat{G}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^{2/\alpha }{x}^{2}-\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\frac{{x}^{2}}{2\left({\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\right)\end{array} $

(40)

$ \begin{array}{l}{f}_{{X}_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}}\left(\boldsymbol{x}\right)=\frac{2\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}x}{{\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{N}}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\frac{1}{2\left({\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}\right)}\right.\right.{\left({\widehat{B}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}} {\widehat{P}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}{\widehat{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}\right)}^{2/\alpha }+\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\left.\stackrel{}{\underset{\underset{}{}}{\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }{\lambda }_{\mathrm{M}}}}\right)\stackrel{}{{x}^{2}}\right)\end{array} $

(41)

4 仿真和数值分析

本章节进行模拟实验和数值结果分析，以验证HetNets建模方案的正确性，并说明不同网络参数对级联概率的影响。在整个网络中，假设所有链路的路径损耗指数均为$ \alpha =2 $，MBSs和PBSs的位置分别被建模为密度$ {\lambda }_{\mathrm{M}}=(1~10)\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{s}/(\mathrm{{\rm{ \mathsf{ π} }} }\times \mathrm{k}{\mathrm{m}}^{2}) $和$ {\lambda }_{\mathrm{P}}=10{\lambda }_{\mathrm{M}} $的独立PPPs，PCP中的点$ {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{F}} $和$ {\boldsymbol{\varTheta }}_{\mathrm{U}} $以方差$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2}=10~1\mathrm{ }000 $和$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2}=10~1\mathrm{ }000 $分布在父点周围。活动FBSs和UEs的平均数目分别为$ {\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{D}}=10 $和$ {\stackrel{-}{c}}_{\mathrm{F}}=4\sim 6 $，总的可用带宽为$ W=20\mathrm{M} \mathrm{H}z $。参考文献[20]，本文参数取值如表 1所示。

图 3所示为方差$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2} $和$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $对目标簇中心UEs AP的影响。图 4所示为密度$ {\lambda }_{\mathrm{M}} $和方差$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2} $对簇边缘UEs AP的影响。

从图 3可以看出，分别以方差$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2} $和$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $分布的FBSs和UEs对$ {\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $、$ {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $和$ {\varLambda }_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $有不同的影响。特别地，虽然方差$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2} $对MBSs的$ {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $影响很小，但对$ {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $影响很大。目标UE到MBS的平均距离随方差$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $的增大而减小，而$ {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $随方差$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $的增大而增大。在图 3（c）中，目标簇中心UE与PBS的$ {\varLambda }_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $随方差$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $的增大而增大。然而，与$ {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $和$ {\varLambda }_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $不同，图 3（a）为目标簇中心UE与FBS的$ {\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $，$ {\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $不会随方差$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $单调递增，特别是在FBSs分布方差$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2} $较小的情况下，此时，当UE分布的方差$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $很小时，$ {\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $随方差$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $的增加而增加，反之则减少。结果表明，AP可达到最大值，这是由于方差$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $较小时方差$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $值的增加表明UE离PBS越远，越接近FBS。因此，$ {\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $随方差$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $的增加而增加。随着$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $的不断增加，更多的UE也会远离FBS，即$ {\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $随方差$ {\sigma }_{\mathrm{D}}^{2} $的增加而降低。由于UEs分散在PBS周围，因此可以解释$ {\varLambda }_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $与FBS距离分布的方差$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2} $的关系。同时，图 3还从AP的角度给出有序和非有序FBSs两种情况下的结果，如同预期，使用有序级联方案会增加$ {\varLambda }_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $，$ {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $也得益于有序FBSs。根据总概率定理，有序FBSs下的$ {\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{C}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $小于非有序FBS下的AP。

由于只有MUEs和FUEs不在PBS的覆盖范围之内，因此图 4给出了$ {\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $和$ {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $。由于UEs与MBS级联的概率更多，因此簇边缘UE与MBS的$ {\varLambda }_{\mathrm{M}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $随密度$ {\lambda }_{\mathrm{M}} $增加而增加。方差$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2} $的增加表明更多的FBS将远离目标簇边缘UE，根据全概率定律，可以得出$ {\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $随方差$ {\sigma }_{\mathrm{F}}^{2} $和密度$ {\lambda }_{\mathrm{M}} $的增加而减小。与图 3（a）中的$ {\varLambda }_{\mathrm{F}}^{\mathrm{E}\mathrm{O}\left(\mathrm{N}\right)} $类似，图 4（b）表明在有序FBSs下的AP小于非有序FBSs下的AP，这是因为在非有序FBSs下，目标UE随机选择其服务的FBS，使得目标UE与FBS获得了更多的级联概率。

5 结束语

本文针对密集热点通信场景，提出一种三层HetNets建模方案。分析不同网络参数对UEs级联概率的影响，并在有序FBSs和非有序FBSs两种情况下，分别对比目标UE与FBS、MBS和PBS级联的AP大小。下一步将在本文方案的基础上对网络覆盖概率进行研究，并且将在该网络模型中加入D2D用户，研究D2D通信模式下的网络覆盖概率。