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0 概述

随着第五代无线通信业务的爆炸式增长，物联网（Internet of Things，IoT）技术得到快速发展，满足了人们对智慧生产和生活的需求。IoT配置大量传感器节点，将实时感知的数据传输到监控终端以实现监控管理，在此类实时感知监控系统中，监控终端需要获取最新的状态感知信息，从而进行准确判断，过时的状态信息将影响终端管理的正确性^[1]。然而，传统的性能指标（如吞吐量、时延、中断概率等）不足以反映数据新鲜度，其中：吞吐量在类似于先到先服务的排队系统中不能保证传输最新的数据^[2]；时延仅反映传输快慢，没有考虑数据的生成时间；中断概率只考虑传输成功与否，没有考虑数据生成和等待时间。KAUL等^[3]提出信息年龄（Age of Information，AoI）的概念，从接收机角度将其定义为当前时间与最近一个接收数据分组生成时间的间隔，该时间间隔分3个部分反映时间消耗：第一部分是数据源生成数据所花费的时间；第二部分是数据包在通信节点上所需的服务时间；第三部分是数据包被成功解码到目的地之前在无线信道上所花费的时间。

AoI作为新的度量指标被引入监控系统后，研究人员结合排队理论^[4]，从数据包在更新过程中有无抢占、有无自动重传请求（Automatic Repeat-Request，ARQ）等方面展开对AoI的研究^[5-6]，如文献[7]在一般干扰约束下优化系统的信息新鲜度。但是在资源有限的物联网系统中，自然能源的不规则性以及传感器电池尺寸的限制均对能量采集（Energy Harvesting，EH）有很大影响^[8]，因此，对EH系统的AoI进行分析尤其重要。文献[9]在无线传感器网络（Wireless Sensor Network，WSN）场景下研究EH，基于AoI的马尔可夫决策过程构建状态的更新策略方案。文献[10]研究传感器从自然界能源获取能量以发送状态更新的单源单目的节点系统的AoI。文献[11]考虑只有成功接收到一个更新包时才会产生下一个更新包的情况，研究EH无线传感器网络中平均AoI和峰值信息年龄（Peak Age of Information，PAoI），但其未考虑传感器生成状态更新的随机性。文献[12]通过一个随机的EH过程给传感器节点的电池进行充能，利用随机混合系统提出一种估计平均AoI的方法。文献[13]与文献[12]中的系统模型相同，不同的是，文献[13]主要研究状态更新生成策略，忽略了EH过程的随机性。为降低EH对平均AoI的影响，文献[14]联合电池状态和调节传输功率来研究最优传输策略。文献[15]虽研究了传感器网络在无限电池、有限电池和单元电池3种情况下的AoI，但其假设能量到达服从泊松过程。文献[16]优化了资源约束下两跳状态更新系统的信息新鲜度。

除了非射频信号的EH外，射频信号的EH同样具有有效性，利用无线传播的广播特性，无线能量传输技术对传感器进行充电具有更强的可控性和可靠性。因此，来自射频信号的EH引起了研究人员的极大关注。文献[17]基于深度学习研究射频无线能量传输的无人机辅助数据采集的平均AoI最小化问题。文献[18]使用能量基站将能量传输给传感器，研究普通单源单目的节点传感器系统的AoI。文献[19]采用无线能量传输实现多传感器AoI系统的最优资源分配，但由于能量基站接入电网，导致其能效较低。因此，可以引入一个部署有能量采集和传输基站（Energy Harvesting and Transferring Beacons，EHTB）的无线能量采集和传输（Wireless Energy Harvesting and Transferring，WEHT）子系统来解决传感器能量受限问题。首先，EHTB从自然资源中获取能量并储存在大容量电池中，通过能量传输模式将射频信号传输到传感器；其次，传感器配备小型电路，将射频信号转换为直流电源（Direct Current，DC）供发送状态更新使用。因此，WEHT子系统克服了自然能源不规则问题，保持了无线电（或能量）传输方案提供稳定能量补充的优点。与此同时，物联网通常借助蜂窝网络进行部署，无线传感器网络可以与蜂窝网络协同工作。为了获得信道等网络资源，回程链路的建立也是影响状态更新传输时效性的另一个重要因素。

本文将自然能源EH与无线能量传输相结合，提出一种新型的EHTB和蜂窝回程辅助物联网信息状态更新系统，目的是提高能源效率，为传感器持续供电，同时建立可靠的回程链路。

1 系统模型与问题描述 1.1 系统模型

本文考虑图 1所示的蜂窝通信场景下的物联网系统，该系统由蜂窝回程子系统、WEHT子系统和无线传感器状态更新子系统构成：蜂窝回程子系统包括一个宏基站（Microcell Base Station，MBS），通过低延迟光纤与核心网络相连；WEHT子系统由2个具有相同电池容量$ {B}_{H} $的EHTB构成，分别表示为$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{1} $和$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{2} $，用于从非射频信号中采集能量并以射频方式传输给传感器节点S；无线传感器状态更新子系统包含一个传感器节点S和一个目的节点D，由于物理尺寸限制，传感器节点S只配备了小容量$ {B}_{S} $的电池，用于储存来自$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{1} $和$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{2} $的能量。

为保证在MBS控制下协同工作，时间按等时隙划分，MBS工作在频段$ {F}_{1} $，$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{1} $、$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{2} $和传感器节点S共享另一个频段$ {F}_{2} $。传感器节点S以半双工（Half Duplex，HD）方式与$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{1} $和$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{2} $协同工作。$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{1} $和$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{2} $有EH和能量传输2种工作模式，在EH模式下，EHTB从自然界的能源中获取能量，能量到达服从概率为$ {\delta }_{{H}_{1}} $和$ {\delta }_{{H}_{2}} $的伯努利分布^[20]，对于相同性质的能量来源，$ {\delta }_{{H}_{1}}={\delta }_{{H}_{2}} $；在能量传输模式下，$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{1} $和$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{2} $分别以概率$ {\mu }_{{H}_{1}} $和$ {\mu }_{{H}_{2}} $发送能量信号。传感器节点S首先采集来自$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{1} $和$ \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{2} $的能量，在电池充满后，传感器节点或生成新的状态更新并向目的节点传输，或重新传输现有的状态更新直到状态更新在目的节点处被成功接收。另外，在目的节点成功接收一个状态更新数据包并产生一个新的更新时，MBS以功率$ {P}_{M} $将回程控制信号传送给传感器节点，以便进行网络资源管理^[21]。为减少回程对AoI的影响，本文采用ARQ和最大比合并（Maximum Ratio Combination，MRC）组合回程传输。在上述过程中，假设电池单元能量信号的功率为$ {P}_{U} $。

所有的无线链路都服从瑞利衰落。在第$ k $个时隙，网络节点u和v之间的信道衰落系数表示为$ {h}_{u, v}^{k} $，其中，$ u\in \left\{\mathrm{E}{\mathrm{H}}_{1}, \mathrm{E}{\mathrm{H}}_{2}, S, \mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{S}\right\} $，$ v\in \left\{S, D\right\}，{\left|{h}_{u, v}\right|}^{2} \sim \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(1\right) $。状态更新受方差为$ {\sigma }_{D}^{2} $的加性高斯白噪声干扰，忽略噪声对EH的影响。

1.2 AoI描述

在状态更新过程中，假设传输单元能量或状态更新占用一个时隙，在不失一般性的情况下，传输时隙被归一化。传感器节点的第$ i $个状态更新产生时隙为$ {n}_{i} $，并于时隙$ {n}_{i}^{\text{'}} $被目的节点成功接收。在时隙$ n $，目的节点接收到的状态更新索引为$ N\left(n\right)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{i|{n}_{i}^{\text{'}}\le n\right\} $，最新收到的状态更新的生成时刻为$ U\left(n\right)={n}_{N\left(n\right)} $，因此，可得定义1：

定义1（瞬时信息年龄）  在目的节点处收到状态更新的瞬时AoI为：

$ \Delta \left(n\right)=n-U\left(n\right) $

(1)

本文考虑的IoT系统在成功接收状态更新后，传感器节点需获取回程信号。传感器节点在HD模式下工作，当回程信号被成功接收后，传感器节点才开始接收来自EHTB的能量信号，传感器节点充电完成后会产生一个状态更新，并在下一个时隙对其进行传输。

图 2所示为AoI演变示例，$ {W}_{i}={n}_{i}-{n}_{i-1}^{\text{'}} $表示第$ i $个回程建立的时间，$ {S}_{i}={n}_{i}^{\text{'}}-{n}_{i} $表示目的节点D成功接收第$ i $个状态更新的服务时间，$ {Y}_{i}={n}_{i}^{\text{'}}-{n}_{i-1}^{\text{'}} $表示目的节点D连续2次成功接收状态更新之间的时间间隔，且$ {Y}_{i}={W}_{i}+{S}_{i} $。在成功接收第$ i $个状态更新后，AoI被重置为数据包通过传输系统所经历的时延，之后继续随时间增加。

根据定义1，将PAoI定义为在时隙$ {n}^{\text{'}} $测量的AoI值，$ \Delta \left(n\right)={Y}_{n}+{S}_{n-1}-1 $，则平均PAoI定义为：

$ A=E\left\{{Y}_{n}\right\}+E\left\{{S}_{n-1}\right\}-1 $

(2)

定义2（平均信息年龄）  对于一个被观察的时间区间$ (0, C) $，状态更新系统的平均AoI为：

$ \Delta =\frac{1}{C}{\int }_{0}^{C}\Delta \left(n\right)\mathrm{d}n $

(3)

因此，假设时隙$ N $内有$ M $个状态更新成功传输，则平均AoI表示为图 2中多边形区域$ {Q}_{i} $面积之和的平均值：

$ {\Delta }_{N}=\frac{1}{N}\sum \limits_{n=1}^{N}\Delta \left(n\right)=\frac{1}{N}\sum \limits_{i=1}^{M}{Q}_{i}=\frac{M}{N}\frac{1}{M}\sum \limits_{i=1}^{M}{Q}_{i} $

(4)

由于$ \underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{M}{N}=\frac{1}{{\rm E}\left\{{Y}_{i}\right\}} $，而$ \frac{1}{M}\sum \limits_{i=1}^{M}{Q}_{i} $是$ {Q}_{i} $的算术平均值，当$ M $趋于无穷大时，$ \frac{1}{M}\sum \limits_{i=1}^{M}{Q}_{i} $收敛于$ {\rm E}\left\{Q\right\} $。平均AoI转换为：

$ \Delta =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\Delta }_{N}=\frac{{\rm E}\left\{{Q}_{i}\right\}}{{\rm E}\left\{{Y}_{i}\right\}} $

(5)

$ {Q}_{i} $的面积可以进一步写为：

$ {Q}_{i}={S}_{i-1}+({S}_{i-1}+1)+\cdots +({S}_{i-1}+{Y}_{i}-1)={S}_{i-1}{Y}_{i}+\frac{{Y}_{i}^{2}-{Y}_{i}}{2} $

(6)

从而得到：

$ {\rm E}\left\{{Q}_{i}\right\}={\rm E}\left\{{S}_{i-1}{Y}_{i}\right\}+\frac{{\rm E}\left\{{Y}_{i}^{2}\right\}}{2}-\frac{{\rm E}\left\{{Y}_{i}\right\}}{2} $

(7)

成功接收更新包的时间$ {S}_{i-1} $与回程建立时间$ {W}_{i} $和服务时间$ {S}_{i} $之间都是独立的，因此，$ {S}_{i-1} $与$ {Y}_{i} $相互独立，$ E\left\{{S}_{i-1}{Y}_{i}\right\}={\rm E}\left\{{S}_{i-1}\right\}{\rm E}\left\{{Y}_{i}\right\} $，结合式（5）和式（7），平均AoI为：

$ \Delta ={\rm E}\left\{{S}_{i-1}\right\}+\frac{{\rm E}\left\{{Y}_{i}^{2}\right\}}{2{\rm E}\left\{{Y}_{i}\right\}}-\frac{1}{2} $

(8)

2 EHTB离散能量状态分析 2.1 EHTB电池状态的MC

EHTB电池可能状态和电池能量状态之间的转换可以被建模为马尔可夫链（Markov Chain，MC），其中，每个状态代表EHTB电池的离散能量数量^[22]。每个EHTB有$ \left({B}_{H}+1\right) $种能量状态，2个EHTB有$ L={\left({B}_{H}+1\right)}^{2} $种能量状态。函数$ {\mathit{\Psi}} \left(\mathrm{E}{\mathrm{H}}_{a}\right)，a\in \left\{\mathrm{1, 2}\right\} $，$ 0\le {\mathit{\Psi}} \left(\mathrm{E}{\mathrm{H}}_{a}\right)\le {B}_{H} $表示EHTB的电池中储存的能量数量，$ {\mathit{\Psi}} \left(\mathrm{E}{\mathrm{H}}_{a}\right) $随着能量采集和传输的增加而减少，当EHTB采集一个能量单元时，$ {\mathit{\Psi}} \left(\mathrm{E}{\mathrm{H}}_{a}\right) $增加1，在射频能量传输时，$ {\mathit{\Psi}} \left(\mathrm{E}{\mathrm{H}}_{a}\right) $减少1。在考虑2个EHTB时，所得MC的第$ l $个状态$ {S}_{l}=\left\{{{\mathit{\Psi}} }_{l}\left(\mathrm{E}{\mathrm{H}}_{1}\right){{\mathit{\Psi}} }_{l}\left(\mathrm{E}{\mathrm{H}}_{2}\right)\right\} $，$ l\in \left\{\mathrm{1, 2}, \cdots , L\right\} $，在一般情况下，这些状态是随机的，为了便于分析，本文考虑设置$ {B}_{H}=1 $，因此，会得到$ {S}_{1} $、$ {S}_{2} $、$ {S}_{3} $、$ {S}_{4} $这4种状态，其中，$ {S}_{1}\in $ $ \left\{0    0\right\}，{S}_{2}\in \left\{0    1\right\}，{S}_{3}\in \left\{1    0\right\} $，$ {S}_{4}\in \left\{1 \;\;\; 1\right\} $。

2.2 MC状态转移矩阵构建

状态转移矩阵$ {{\boldsymbol A}} $是$ ({B}_{H}{+1)}^{2}\times ({B}_{H}{+1)}^{2} $大小的矩阵，且$ {{{\boldsymbol A}}}_{ij} $表示从状态$ {S}_{j} $到状态$ {S}_{i} $的转移概率。状态转移概率取决于EHTB电池状态转换的连通性、EHTB的HD模式、随机到达的能量和EHTB电池的状态（剩余能量单元的数量、满能量或空能量状态）。同时定义$ {P}_{a, j\to i} $为第$ a $个EHTB从状态$ j $到状态$ i $的概率。2个EHTB相互独立，因此，$ {{{\boldsymbol A}}}_{i, j}=\mathbb{P}\left({S}_{j}\to {S}_{i}\right) $可以写为$ {{{\boldsymbol A}}}_{i, j}={P}_{1, j\to k}{P}_{2, j\to k} $，当$ {B}_{H}=1 $时，状态转换矩阵如表 1所示。

2.3 MC的平稳分布

通过构建能量状态转移矩阵，利用状态转移矩阵的性质得到MC的平稳分布$ { \pmb{\mathsf{ π}} }=\{{\pi }_{1}, {\pi }_{2}, \cdots , {\pi }_{L}\} $。通过本文状态转移矩阵的构建策略，可以实现MC从状态$ j $到$ i $的任意转换，且恒有$ \sum \limits_{i=1}^{L}{{{\boldsymbol A}}}_{i, j}=1 $。构建的状态转移矩阵$ {{\boldsymbol A}} $是非对称的，其中，状态$ i $可以通过有限步数转移到状态$ j $，MC的任意2个状态是连通的，且矩阵$ {{\boldsymbol A}} $是列随机、不可化简和可逆的。因此，从上述分析中可以得到定理1：

定理1   在EHTB和蜂窝回程辅助物联网信息状态更新系统中，EHTB的能量状态可以用MC来表示。状态转移矩阵是列随机、不可化简和可逆的。MC的平稳分布为：

$ { \pmb{\mathsf{ π}} }={\left({{\boldsymbol A}}-\boldsymbol{I}+\boldsymbol{B}\right)}^{-1}\boldsymbol{b} $

(9)

其中：$ { \pmb{\mathsf{ π}} }=\{{\pi }_{1}, {\pi }_{2}, \cdots , {\pi }_{L}\} $；$ L=({B}_{S}{+1)}^{2} $；$ {\boldsymbol{B}}_{i, j}=1，\forall i, j $；$ \boldsymbol{b}={\left(1,   1,  \cdots ,  1\right)}^{\mathrm{T}} $；$ \boldsymbol{I} $为单位矩阵。

根据平稳分布$ { \pmb{\mathsf{ π}} }=\{{\pi }_{1}, {\pi }_{2}, \cdots , {\pi }_{L}\} $，可计算出WEHT子系统在任意时隙$ n $的平均传输功率。当$ {\mathit{\Psi}} \left(\mathrm{E}{\mathrm{H}}_{a}\right) > 0 $时，EHTB在每个时隙中传输一个单元能量，当$ {\mathit{\Psi}} \left(\mathrm{E}{\mathrm{H}}_{a}\right)=0 $时，无能量传输。因此，在第$ l $个状态下用$ {P}_{{H}_{1}}\left(l\right) $和$ {P}_{{H}_{2}}\left(l\right) $表示传输的能量单元，得到以下定义：

$ {P}_{{H}_{a}}\left(l\right)=\left\{\begin{array}{cc}1, {{\mathit{\Psi}} }_{l}\left(\mathrm{E}{\mathrm{H}}_{a}\right)\ge 1& \\ 0, {{\mathit{\Psi}} }_{l}\left(\mathrm{E}{\mathrm{H}}_{a}\right)=0& \end{array}\right. $

(10)

WEHT子系统提供的总平均稳定能量为：

$ {P}_{H}=\sum\limits_{l=1}^{L}{\pi }_{l}\left({P}_{{H}_{1}}\left(l\right){P}_{U}\right)+\sum\limits_{l=1}^{L}{\pi }_{l}\left({P}_{{H}_{2}}\left(l\right){P}_{U}\right) $

(11)

当$ {\mu }_{{H}_{1}}={\mu }_{{H}_{2}}\mathrm{、}{\delta }_{{H}_{1}}={\delta }_{{H}_{2}} $时，$ \sum\limits_{l=1}^{L}{\pi }_{l}{P}_{{H}_{1}}\left(l\right)=\sum\limits_{l=1}^{L}{\pi }_{l}{P}_{{H}_{2}}\left(l\right) $，为了便于分析，后文设置$ {\delta }_{{H}_{1}}={\delta }_{{H}_{2}}={\delta }_{H} $和$ {\mu }_{{H}_{1}}={\mu }_{{H}_{2}}={\mu }_{H} $。

2.4 EHTB能量传输时间

在EHTB的电池能量状态已知后，分析有限大小的传感器节点完全充电的时间。首先，定义$ {P}_{T}\left(m\right) $为随机变量$ T $的概率质量函数，模拟在m个连续时间段内为传感器节点电池完全充电的随机时间，然后对于EHTB的能量传输，得到以下的能量评估策略，传感器在$ n $个连续时隙内从EHTB接收到的总平均能量$ {E}_{n} $为：

$ {E}_{n}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{{\mathbb{I}}_{{E}_{n-1} < {B}_{S}}{E}_{n-1}+\eta {E}_{{S}_{n}}, {B}_{S}{P}_{U}\right\} $

(12)

其中：$ \eta $（$ 0\le \eta \le 1 $）为RF-DC的转换效率；$ {\mathbb{I}}_{X} $是$ X $的指示函数。假设EHTB使用MRC技术，$ {E}_{Sn} $表示在第$ n $个时隙从EHTB接收的总能量。通过使用式（11）中EHTB采集的总平均稳定能量可以得到：

$ {E}_{Sn}=\sum\limits_{l=1}^{L}{\pi }_{l}\left[{P}_{{H}_{1}}\left(l\right){\left|{h}_{1}^{n}\right|}^{2}{P}_{U}+{P}_{{H}_{2}}\left(l\right){\left|{h}_{2}^{n}\right|}^{2}{P}_{U}\right] $

(13)

因此，利用能量评估策略式（12），可以得到传感器节点的电池从2个EHTB充满电的总等待时间$ {T}_{m} $的概率质量函数$ {P}_{T}\left(m\right) $为：

$ \begin{array}{l}{P}_{T}\left(m\right)=\mathbb{P}\left\{\left(\sum\limits_{n=1}^{m-1}{E}_{Sn} < {B}_{S}\right)\bigcap \left(\sum\limits_{n=1}^{m}{E}_{Sn}\ge {B}_{S}\right)\right\}=\\ \mathbb{P}\left\{\sum\limits_{a=1}^{2}\sum\limits_{n=1}^{m-1}\left(\sum\limits_{l=1}^{L}{\pi }_{l}{P}_{{H}_{a}}\left(l\right)\right){\left|{h}_{a}^{n}\right|}^{2} < \frac{{B}_{S}}{\eta }\bigcap \right.\\ \left.\sum\limits_{a=1}^{2}\sum\limits_{n=1}^{m}\left(\sum\limits_{l=1}^{L}{\pi }_{l}{P}_{{H}_{a}}\left(l\right)\right){\left|{h}_{a}^{n}\right|}^{2}\ge \frac{{B}_{S}}{\eta }\right\}\end{array} $

(14)

由于给定时隙$ n $信道增益和$ {H}_{n}=\sum\limits_{a=1}^{2}{\left|{h}_{a}^{n}\right|}^{2} $是一个Gamma随机变量^[23]，$ {H}_{n}\sim \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{a}\left(\mathrm{2, 1}\right) $，因此将$ {H}_{n} $的分布函数$ {F}_{{H}_{n}}\left(x\right)=1-\frac{{\mathit{\Gamma}} \left(2, x\right)}{{\mathit{\Gamma}} \left(2\right)} $和概率密度函数$ {f}_{{H}_{n}}\left(x\right)= $ $ \frac{x}{{\mathit{\Gamma}} \left(2\right)}{\mathrm{e}}^{-x} $代入式（14）得到：

$ \begin{array}{l}{P}_{T}\left(m\right)={\mathrm{e}}^{-{B}_{Th}}\left[\frac{1+{B}_{Th}}{\left(2\left(m-1\right)\right)!}{B}_{Th}^{2\left(m-1\right)}-\right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left.\frac{2\left(m-1\right)}{\left(2\left(m-1\right)+1\right)!}{B}_{Th}^{2\left(m-1\right)+1}\right]\text{，}\;\;\;m > 1\end{array} $

(15)

$ {P}_{T}\left(1\right)={\mathit{\Gamma}} \left(2, {B}_{Th}\right), m=1 $

(16)

其中：$ {B}_{Th}=\frac{{B}_{S}}{\eta \sum\limits_{l=1}^{L}{\pi }_{l}{P}_{{H}_{1（2）}}\left(l\right)} $。

根据式（15）和式（16），利用$ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left({\mathrm{e}}^{x}-{\mathrm{e}}^{-x}\right) $和$ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left({\mathrm{e}}^{x}+{\mathrm{e}}^{-x}\right) $，得到传感器节点从EHTB获得$ {B}_{S} $能量的等待时间$ T $的一阶矩和二阶矩：

$ {\rm E}\left\{T\right\}=\sum\limits_{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{P}_{T}\left(n\right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}{B}_{Th}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}{B}_{Th}\right){\mathrm{e}}^{-2{B}_{Th}} $

(17)

$ \begin{array}{l}{\rm E}\left\{{T}^{2}\right\}=\sum\limits_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{2}{P}_{T}\left(n\right)=\\ \frac{1}{4}{B}_{Th}^{2}+{B}_{Th}+\frac{5}{8}+\left(\frac{3}{8}-\frac{5}{8}{B}_{Th}\right){\mathrm{e}}^{-2{B}_{Th}}\end{array} $

(18)

3 平均AoI和PAoI的计算与分析

本节分析EHTB和蜂窝回程辅助物联网信息状态更新系统的平均AoI和PAoI，根据式（2）和式（8）的定义，要得到平均AoI和PAoI，需要计算$ {\rm E}\left\{{Y}_{i}^{2}\right\} $、$ {\rm E}\left\{{S}_{i-1}\right\} $和$ {\rm E}\left\{{Y}_{i}\right\} $，此外，由于$ {Y}_{i}={W}_{i}+{S}_{i} $，还需要蜂窝回程建立时间的统计描述。

由图 2可知，$ {W}_{i} $为第$ i $个更新包传输的蜂窝回程建立时间。由于传感器节点采用MRC技术，因此$ {W}_{i} $的概率质量函数为：

$ {P}_{W}\left(m\right)=\mathbb{P}\left\{\sum\limits_{t=1}^{m-1}{I}_{t} < {\gamma }_{th}^{M}\bigcap \sum\limits_{t=1}^{m}{I}_{t}\ge {\gamma }_{th}^{M}\right\} $

(19)

其中：$ {\gamma }_{th}^{M} $为蜂窝回程成功传输阈值。在时隙$ t $，从MBS接收到的回程信号能量$ {I}_{t}={P}_{M}|{h}_{M, S}^{t}{|}^{2} $，其中，$ |{h}_{M, S}^{t}{|}^{2} \sim \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(1) $。将$ {I}_{t} $代入式（19）得到：

$ {P}_{W}\left(m\right)=\mathbb{P}\left\{\sum\limits_{t=1}^{m-1}|{h}_{M, S}^{t}{|}^{2} < \frac{{\gamma }_{th}^{M}}{{P}_{M}}\bigcap \right.\left.\sum\limits_{t=1}^{m}|{h}_{M, S}^{t}{|}^{2}\ge \frac{{\gamma }_{th}^{M}}{{P}_{M}}\right\} $

(20)

其中：$ {H}_{M, S}=\sum\limits_{t=1}^{m-1}|{h}_{M, S}^{t}{|}^{2} $是一个Gamma随机变量^[24-25]。将$ {f}_{{H}_{M, S}}\left(x\right)=\frac{{x}^{m-2}}{{\mathit{\Gamma}} (m-1)}{\mathrm{e}}^{-x} $和$ {F}_{{H}_{M, S}}\left(x\right)=1-\frac{{\mathit{\Gamma}} (m-1, x)}{{\mathit{\Gamma}} (m-1)} $代入式（19）可以得到：

$ \begin{array}{l}{P}_{W}\left(m\right)={\int }_{0}^{{\gamma }_{th}^{M}/{P}_{M}}{\int }_{{\gamma }_{th}^{M}/P-x}^{\mathrm{\infty }}{f}_{{H}_{M, S}}\left(x\right)\mathrm{d}x{f}_{|{h}_{M, S}^{t}{|}^{2}}\left(y\right)\mathrm{d}y=\\ \frac{{\mathrm{e}}^{-{\gamma }_{th}^{M}/{P}_{M}}}{{\mathit{\Gamma}} \left(m-1\right)}\frac{1}{m-1}{\left(\frac{{\gamma }_{th}^{M}}{{P}_{M}}\right)}^{m-1}  =\frac{{\mathrm{e}}^{-{\gamma }_{th}^{M}/{P}_{M}}}{{\mathit{\Gamma}} \left(m\right)}{\left(\frac{{\gamma }_{th}^{M}}{{P}_{M}}\right)}^{m-1}\end{array} $

(21)

根据式(21)，利用级数$ {\mathrm{e}}^{x}=\sum\limits_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^{n} $可得回程建立时间$ W $的一阶矩和二阶矩：

$ \begin{array}{l}E\left\{W\right\}=\sum\limits_{m=1}^{\mathrm{\infty }}m{P}_{W}\left(m\right)=\\ {\mathrm{e}}^{-{\gamma }_{th}^{M}/{P}_{M}}\sum\limits_{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{m}{\left(m-1\right)!}{\left({\mathrm{e}}^{{\gamma }_{th}^{M}/{P}_{M}}\right)}^{m-1}=1+\frac{{\gamma }_{th}^{M}}{{P}_{M}}\end{array} $

(22)

$ E\left\{{W}^{2}\right\}=\sum\limits_{m=1}^{\mathrm{\infty }}{m}^{2}{P}_{W}\left(m\right)=3\frac{{\gamma }_{th}^{M}}{{P}_{M}}+{\left(\frac{{\gamma }_{th}^{M}}{{P}_{M}}\right)}^{2}+1 $

(23)

由图 2可知，服务时间$ {S}_{i}=\sum\limits_{m=1}^{{M}_{{S}_{i}}}{T}_{m} $，一个状态更新被成功接收的传输次数$ {M}_{{S}_{i}} $是离散随机变量。当发生$ {M}_{{S}_{i}} $次传输，意味着前$ {M}_{{S}_{i}}-1 $次传输均不成功，直到第$ {M}_{{S}_{i}} $次传输成功。因此，平均服务时间$ {S}_{i} $为：

$ \begin{array}{l}E\left\{{S}_{i}\right\}=E\left\{{S}_{i-1}\right\}=\sum\limits_{{M}_{{S}_{i}}=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_{{S}_{i}}E\left\{T\right\}(1-{}P_{\rm{suc}}{)}^{{M}_{{S}_{i}}-1}{}P_{\rm{suc}}\underset{=}{\left(a\right)}\\ E\left\{T\right\}{}P_{\rm{suc}}\times \frac{1}{{\left(1-\left(1-{}P_{\rm{suc}}\right)\right)}^{2}}=\frac{E\left\{T\right\}}{{}P_{\rm{suc}}}\end{array} $

(24)

其中：（a）使用$ \sum\limits_{n=1}^{\mathrm{\infty }}n\cdot {x}^{n-1}=\frac{1}{{\left(1-x\right)}^{2}} $，$ x < 1 $。一阶矩$ E\left\{T\right\} $已在式（17）中给出，传感器节点S到目的节点D状态更新成功传输的概率为：

$ {}P_{\rm{suc}}=\mathbb{P}\left\{\frac{{P}_{U}{B}_{S}|{h}_{S, D}^{m}{|}^{2}}{{\sigma }_{D}^{2}}\ge {\gamma }_{th}^{D}\right\}=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{-{\sigma }_{D}^{2}{\gamma }_{th}^{D}}{{P}_{U}{B}_{S}}\right) $

(25)

目的节点连续2次成功接收状态更新之间的时间间隔$ {Y}_{i}={W}_{i}+{S}_{i}={W}_{i}+\sum\limits_{m=1}^{{M}_{{S}_{i}}}{T}_{m} $。考虑到回程建立时间和服务时间之间的独立性，可以得到：

$ E\left\{{Y}_{i}\right\}=E\left\{{W}_{i}\right\}+{\rm E}\left\{{S}_{i}\right\} $

(26)

$ E\left\{{Y}_{i}^{2}\right\}=E\left\{{W}_{i}^{2}\right\}+E\left\{{S}_{i}^{2}\right\}+2E\left\{{W}_{i}\right\}E\left\{{S}_{i}\right\} $

(27)

其中：$ E\left\{{W}_{i}\right\} $、$ E\left\{{W}_{i}^{2}\right\} $和$ E\left\{{S}_{i}\right\} $已在式（22）~式（24）中给出。因此，还需计算出$ E\left\{{S}_{i}^{2}\right\} $，根据定义$ {S}_{i}=\sum\limits_{m=1}^{{M}_{{S}_{i}}}{T}_{m} $，得到$ {S}_{i}^{2} $表示为：

$ {S}_{i}^{2}={\left(\sum\limits_{m=1}^{{M}_{{S}_{i}}}{T}_{m}\right)}^{2}=\sum\limits_{m=1}^{{M}_{{S}_{i}}}{T}_{m}^{2}+2\sum\limits_{m=1}^{{M}_{{S}_{i}}}\sum\limits_{t > m}^{{M}_{{S}_{i}}}{T}_{m}{T}_{t} $

(28)

通过对条件期望进行运算可以得到：

$ E\left\{{S}_{i}^{2}|{M}_{{S}_{i}}\right\}={M}_{{S}_{i}}E\left\{{T}^{2}\right\}+2{M}_{{S}_{i}}\left({M}_{{S}_{i}}-1\right){E}^{2}\left\{T\right\} $

(29)

然后进行如下计算：

$ E\left\{{S}_{i}^{2}\right\}={\sum\limits_{{M}_{{S}_{i}}=1}^{\mathrm{\infty }}E\left\{{S}_{i}^{2}|{M}_{{S}_{i}}\right\}(1-{}P_{\rm{suc}}{)}^{{M}_{{S}_{i}}-1}}P_{\rm{suc}} $

(30)

将式（29）代入式（30）得到：

$ \begin{array}{l}E\left\{{S}_{i}^{2}\right\}={\sum\limits_{{M}_{{S}_{i}}=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_{{S}_{i}}E\left\{{T}^{2}\right\}(1-{}P_{\rm{suc}}{)}^{{M}_{{S}_{i}}-1}}P_{\rm{suc}}+\\ 2{\sum\limits_{{M}_{{S}_{i}}=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_{{S}_{i}}\left({M}_{{S}_{i}}-1\right){E}^{2}\left\{T\right\}(1-{}P_{\rm{suc}}{)}^{{M}_{{S}_{i}}-1}}P_{\rm{suc}}\end{array} $

(31)

通过使用文献[26]中的表达式（0.114），$ {\rm E}\left\{{S}_{i}^{2}\right\} $第二项可以写为：

$ \begin{array}{l}2{\sum\limits_{{M}_{{S}_{i}}=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_{{S}_{i}}\left({M}_{{S}_{i}}-1\right){E}^{2}\left\{T\right\}(1-{}P_{\rm{suc}}{)}^{{M}_{{S}_{i}}-1}}P_{\rm{suc}}=\\ 2\left({{\rm E}}^{2}\left\{T\right\}\frac{2-{}P_{\rm{suc}}}{{}P_{\rm{suc}}^{2}}-\frac{{E}^{2}\left\{T\right\}}{{}P_{\rm{suc}}}\right)\end{array} $

(32)

因此，式（30）经过化简运算表示为：

$ E\left\{{S}_{i}^{2}\right\}=\frac{E\left\{{T}^{2}\right\}}{{}P_{\rm{suc}}}+\frac{4{E}^{2}\left\{T\right\}(1-{}P_{\rm{suc}})}{{}P_{\rm{suc}}^{2}} $

(33)

结合式（22）~式（24）、式（33）和式（8）可以得到平均AoI和PAoI，即定理2。

定理2   对于EHTB和蜂窝回程辅助物联网系统，传感器通过使用EHTB传输的能量进行状态更新，在蜂窝回程控制下，目的节点的平均AoI为：

$ \begin{array}{l}\Delta =E\left\{S\right\}+\frac{1}{2\left(E\left\{W\right\}+E\left\{S\right\}\right)}\cdot \\ \left(E\left\{{W}^{2}\right\}+E\left\{{S}^{2}\right\}+2E\left\{W\right\}E\left\{S\right\}\right)-\frac{1}{2}\end{array} $

(34)

平均PAoI为：

$ A=E\left\{W\right\}+E\left\{S\right\} $

(35)

定理2表明了蜂窝回程和WEHT子系统对平均AoI和PAoI的影响。回程建立导致AoI增加，本文采用ARQ和MRC技术来降低回程的影响。虽然从式（34）和式（35）不能直观地发现WEHT子系统对平均AoI的影响，但在式（24）和式（33）中能够得到，在严格的能量约束下可以独立设计WEHT子系统和蜂窝回程子系统，这在实际工程应用中具有重要意义。

4 仿真结果与分析

本文使用Matlab软件搭建仿真验证平台，从回程链路参数、自然能量到达概率、EHTB能量传输概率、传感器电池尺寸等角度分析所提物联网信息状态更新系统的平均AoI和PAoI。为符合实际无线通信场景的要求，整个系统在一个全球移动通讯系统信道上运行。在仿真过程中，只考虑小规模衰落，信道平均增益为1，网络节点位置随机选择，每组AoI（PAoI）通过1 000次仿真的平均值获得。相关仿真参数配置如表 2所示。

图 3所示为平均AoI和PAoI随回程链路参数的变化情况。从中可以看出：随着MBS发射功率$ {P}_{M} $的增大，平均AoI和PAoI逐渐减小，且随着$ {P}_{M} $的不断增加，平均AoI和PAoI变化缓慢；当$ {P}_{M} $为定值时，回程阈值$ {\gamma }_{th}^{M} $越高，回程传输可靠性越低，平均AoI和PAoI越大。MBS的高传输功率可以降低回程传输的中断概率，使回程下行链路中断概率趋于零，回程传输只需要一个时隙，但传输功率较小时，回程建立对状态更新的影响不可忽略，平均AoI和PAoI增加。通过ARQ和MRC可以提高重传的可靠性，降低回程对平均AoI和PAoI的影响。

图 4所示为自然能量到达概率$ {\delta }_{H} $、能量传输概率$ {\mu }_{H} $与回程对平均AoI和PAoI的影响，考虑对称EHTB，设置$ {{\delta }_{H}}_{{}_{1}}={\delta }_{{H}_{2}}={\delta }_{H} $，$ {{\mu }_{H}}_{{}_{1}}={\mu }_{{H}_{2}}={\mu }_{H} $。从图 4可以看出：随着$ {\delta }_{H} $的增加，平均AoI和PAoI减小，且平均PAoI大于平均AoI；平均AoI随着$ {\mu }_{H} $的增加而增加，这是由于部署的EHTB分别在HD模式下传输和采集能量，随着$ {\mu }_{H} $的增加，EH概率降低，从而降低了EHTB平均传输功率，增加了传感器充分充电的时间，因此，为了降低平均AoI，应选择较低的$ {\mu }_{H} $。图 4（b）给出有无回程控制系统的AoI和PAoI比较，结果表明，在实际的系统中，回程的建立增加了AoI，尤其当$ {\delta }_{H} $较大时，需要考虑回程的影响。

图 5所示为EHTB能量传输概率$ {\mu }_{H} $与回程对平均AoI和PAoI的影响。从中可以看出，平均AoI和PAoI随着$ {\mu }_{H} $的增加先增后减，因此，存在最优$ {\mu }_{H}^{\mathrm{*}} $（或$ {\delta }_{H}^{\mathrm{*}} $），在该点平均AoI和PAoI最小，但该最小值需要在$ {\delta }_{H} $和$ {\mu }_{H} $之间权衡。从图 5（a）可以看出，当$ {\mu }_{H} < {\mu }_{H}^{\mathrm{*}} $时，增加$ {\mu }_{H} $可以使传感器获得的能量增加，从而提高传感器传输的可靠性，降低平均AoI；反之，当$ {\mu }_{H} > {\mu }_{H}^{\mathrm{*}} $时，由于EHTB在HD模式下工作，$ {\mu }_{H} $增加使得EHTB获取能量的概率降低，从而降低了传感器传输的可靠性，导致平均AoI增加。图 5（b）给出有无回程时系统的AoI（PAoI）比较结果，可以看出，回程的影响必须考虑。从图 6可以看出，当$ {\delta }_{H} $较大时，平均AoI和PAoI的最小值在$ {\mu }_{H} $的最大值处，平均AoI和PAoI随着$ {\mu }_{H} $的减小而增加。这是因为$ {\delta }_{H} $较高时2个EHTB都能获得足够的能量，并对电池充分充电，EHTB能量传输概率$ {\mu }_{H} $较高，传感器获得足够的能量进行状态更新传输，在这种情况下，较小的$ {\mu }_{H} $会导致延迟和包拥塞的增加，平均AoI和PAoI增加。在自然能源充足的情况下，EHTB频繁传输能量，平均AoI降低。

图 7所示为传感器电池大小、MRC对平均AoI和PAoI的影响。从图 7（a）可以看出，随着传感器电池容量的增大，平均AoI增加，这是因为在所提系统模型中，传感器只有在充满电后才开始发送状态更新，传感器电池容量越大，充分充电时间越长，虽然大容量传感器可以提高成功传输的概率，但AoI主要取决于传感器接收到来自EHTB的能量信号的时间。图 7（b）给出在回程ARQ有MRC和ARQ无MRC系统中AoI（PAoI）的比较结果，可以看出，通过MRC可以显著降低平均AoI（PAoI）。

图 8所示为有无采用EH方案时的平均AoI。从中可以看出，由于自然能量随机性的影响，在使用EH供电时，系统AoI随着自然能源到达概率的减小而增加。虽然采用EH方案时平均AoI较高，降低了信息的新鲜度，但与传感器源利用电网能量传输信号的无EH方案相比，采用EH方案的传感器消耗的能量来自可再生能源，可视为零消耗，因此，其能量效率高于无EH方案。

5 结束语

本文提出一种蜂窝通信场景下的信息状态更新系统。通过构建EHTB离散能量状态MC，得到EHTB传输能量的平稳分布和传感器充电时间的统计描述。推导平均AoI和PAoI的计算表达式，并分析系统参数、MRC以及回程对平均AoI和PAoI的影响。仿真结果表明，回程会增加平均AoI和PAoI，采用MRC后可以降低系统平均AoI（PAoI）。在本文中，为了便于分析，无线传感器状态更新子系统只考虑单一感知节点和单一状态信息接收节点的情况，但本文模型可以推广到多传感器状态更新子系统中。下一步将对无人机辅助边缘计算系统的信息年龄进行研究，通过联合优化无人机轨迹以实现能源效率最大化和平均AoI最小化的目的。